Математический синтез оптических наноструктур. Ловецкий К.П - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

24
2
1
1
( ) ( )
2
m
j
j
f x r x
,
где
12
( , ,..., )
n
x x x x
– вектор, а
j
r
– функция отображения из
n
R
в
R
.
Функцию
j
r
называют невязкой в предположении, что
mn
.
Для простоты функция
f
представляется вектором невязки вида:
12
( ) ( ( ), ( ),..., ( ))
m
r x r x r x r x
.
Теперь
f
можно переписать как
2
1
( ) ( )
2
f x r x
, а ее производные
представить с помощью матрицы Якоби
.
Рассмотрим линейный случай, когда каждая функция
j
r
линейна.
Здесь якобиан равен константе,
r
можно представить как гиперплоскость в
пространстве, а
2
1
( ) (0)
2
f x Jx r
. Тогда градиент функции
( ) ( )
T
f x J Jx r
и
2
()
T
f x J J
. Решая задачу минимума
( ) 0fx
,
получим
1
min
()
TT
x J J J r
, т.е. решение системы нормальных уравнений
()
TT
J J x J r
.
Возвращаясь к общему (нелинейному) случаю, получим:
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
T
jj
j
f x r x r x J x r x
, (1.14)
22
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
T
jj
j
f x J x J x r x r x
. (1.15)
Отличительной особенностью метода наименьших квадратов
является то, что, имея матрицу Якоби
J
, легко получить гессиан
2
()fx
,
если функции
j
r
можно аппроксимировать линейными приближениями

Страницы