ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
59
если система гарантированно остается достаточно близко от
положения равновесия во все моменты времени, при условии,
что ее начальное положение в фазовом пространстве выбрано
произвольным, но достаточно близким к положению равнове-
сия.
Кроме понятия устойчивости по Ляпунову, в теории
динамических систем вводится также понятие асимптотиче-
ски устойчивого положения равновесия.
Положение равновесия
0
x называется асимптотически устой-
чивым, если оно устойчиво по Ляпунову и
0
lim ( )
x
t
→∞
=
xx
Таким образом, для асимптотической устойчивости требует-
ся, чтобы траектория системы не только все время оставалась
в окрестности неподвижной точки, но и стремилась к ней при
t →∞.
Центр является устойчивой по Ляпунову особой точкой, но не
является асимптотически устойчивой. Седло - неустойчивая
особая точка.
6.7. Бифуркация динамической системы
Пусть функции F и G в (2.4) кроме переменных
x
и y ,
зависят еще от параметра
λ
. Выберем одну из неподвижных то-
чек, и будем наблюдать за изменением характера фазовых траек-
торий вблизи нее при изменении параметра. Если меняется
λ
, то
будут меняться и коэффициенты в линеаризованной системе
(2.5),
значит на плоскости (
,SD), точка, отвечающая текущим значени-
ям параметра, будет двигаться вдоль некоторой непрерывной ли-
нии (рис. 4.7).
Пока точка находится внутри одной из областей 1–4, небольшое
изменение параметра не меняет типа особой точки и характера
траекторий близи нее. Если же система находится на одной из гра-
ниц этих областей (например, в одной из точек: A, B, C),
то малое
изменение параметра приводит к изменению типа особой точки и
вида фазовых траекторий. Такое перестроение фазового портрета
системы называется бифуркацией, а значение параметра, при ко-
тором оно происходит -бифуркационным. Более точное определе-
ние [2] гласит: значение параметра
0
λ
λ
=
называется обыкновен-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
