ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
58
точки, на фазовой плоскости здесь находятся седла. Общая
картина фазовых траекторий показана на рис. 17,б.
Движение вдоль сепаратрис соответствует тому, что маятник
бесконечно долго находится в верхнем положении равнове-
сия. Затем, набирая скорость, отклоняется от него, делает
оборот и вновь бесконечно долго приближается к верхнему
положению равновесия, которое будет достигнуто только
при
t →∞. Если энергия маятника больше 2mgl , то он вращается
по или против часовой стрелки вокруг точки подвеса. На фа-
зовой плоскости это соответствует траекториям, лежащим вне
сепаратрис. Таким образом, сепаратрисы разделяют траекто-
рии с разным характером движения.
6.6. Устойчивость положений равновесия
Вид фазовых траекторий вблизи центра и седла пока-
зывает, что если начальные условия заданы вблизи непод-
вижной точки, то поведение системы на больших временах
может быть различным. В случае центра система совершает
малые колебания и в любой момент времени остается вблизи
точки равновесия. В случае седла фазовая траектория удаля-
ется от
положения равновесия на большие расстояния, если
только начальное положение специально не было выбрано на
сепаратрисе, входящей в седло. Это наблюдение приводит к
понятию устойчивости неподвижной точки динамической
системы. Введем определение устойчивой неподвижной точ-
ки, применимое к конечномерным динамическим системам [2,
4].
Неподвижная точка
{
}
00 0
012
, ,...
N
x
xx=x динамической системы
в
N -мерном фазовом пространстве называется устойчивой
(по Ляпунову), если для любого
0
ε
> всегда найдется такое
() 0
δ
ε
>
, что из условия
00
()t
δ
−
<xx следует выполнение
условия
0
()t
ε
−<xx для любого 0t > .Если такого числа
δ
не существует, то система называется неустойчивой.
Символ
...
означает расстояние в фазовом пространстве. Го-
воря другим языком, особая точка называется устойчивой,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
