ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
56
где
1,2
C —константы интегрирования. Комбинируя два урав-
нения в
(6.22), запишем
[]
[]
1
2
1
() ()/ ,
2
1
() ()/ .
2
t
t
Ce x t x t
Ce xt xt
β
β
β
β
−
=+
=−
. (6.23)
Предположим сначала, что
12
0CC
≠
.Тогда, перемножив по-
членно уравнения в
(6.23), получаем
22
12 12
1
44
xx
CC CC
−
=
. (6.24)
Это каноническое уравнение гиперболы. Рассмотрим условия,
при которых требование
12
0CC
≠
нарушается.
Пусть сначала
2
0C = . Из второго уравнения (6.22) следует,
что это возможно, если
() ()
x
txt
β
=
. Множество точек на фа-
зовой плоскости, удовлетворяющее этому условию, есть пря-
мая с угловым коэффициентом
β
, проходящая через начало
координат. Таким образом, изображающая точка остается на
этой прямой во все последующие моменты времени.
Подставив
2
0C = в (6.22), находим, что с увеличением t сис-
тема уходит на бесконечность. При
t →−∞ изображающая
точка, напротив, стремится к точке равновесия. Прямая
() ()
x
txt
β
=
состоит из двух сепаратрис, выходящих из точки
равновесия и, вдобавок, самой этой точки.
Аналогично, если
1
0C
=
, то () ()
x
txt
β
=
−
. Движение
системы вдоль этой прямой таково, что при
t →∞она при-
ближается к точке равновесия, а при
t →−∞ - удаляется от
нее. Эта прямая состоит из второй пары сепаратрис, входя-
щих в особую точку и самой этой точки.
Таким образом, в общем случае картины фазовых траекторий
вблизи седла состоит из неподвижной точки, четырех особых
траекторий — пары сепаратрис, входящих в особую точку и
пары выходящих из нее, и остальных траекторий,
которые
вблизи седла близки по форме к гиперболам (рис. 16,б).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
