ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
54
после нормировки (6.7), находим
0y
=
, т.е. равна нулю и ско-
рость изменения хищников. Следовательно, величина
0y =
не меняется со временем. В этом случае уравнение для
()
x
t
из
(6.7) совпадает с первым уравнением линеаризованной сис-
темы
(6.19) и имеет то же самое решение
01
( ) exp( )xt x
ε
=
. Это
знаменитый закон Мальтуса, говорящий о том, что в условиях
достаточного количества пищи и в отсутствии врагов вид
размножается экспоненциально.
Найденное решение означает, что если в начальный момент
изображающая точка лежит на положительной полуоси
x
, то
она будет оставаться на ней всегда, удаляясь в пределе
t →∞
на бесконечность.
Можно рассматривать динамику в “обратном” времени, т.е. в
пределе
t →−∞. Очевидно, что при этом система приближа-
ется к нулевому положению равновесия, однако с течением
времени изображающая точка движется все медленнее и мед-
леннее, так что особая точка никогда не будет достигнута.
Таким образом, положительная полуось
x
(с выброшенной
точкой
0x = ) представляет собой особую траекторию систе-
мы, двигаясь вдоль которой система выходит из положения
равновесия при
t →−∞ и удаляется на бесконечность при
t →∞. Полное время движения по такой траектории беско-
нечно.
Аналогично исследуется случай, когда при
0t
=
точка лежит
на оси
y
. В этом случае () 0xt
≡
и
02
( ) exp( )
y
ty t
ε
=
− . Эти
формулы описывают вторую особую траекторию, двигаясь
вдоль которой система приходит из бесконечности при
t →−∞ и приближается к особой точке, никогда не попадая в
нее, в пределе
t →∞. Рассмотренная особая точка называется
особой точкой типа седло, а траектории, входящие и выходя-
щие из седла, называются сепаратрисами. Картина фазовой
плоскости вблизи седла характеризуется наличием следую-
щих компонент: положения равновесия, сепаратрис и осталь-
ных фазовых траекторий, имеющие вид гипербол. Сепаратри-
сы разделяют области фазового пространства на множества
траекторий с разным
поведением при t →±∞. Вид фазовых
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
