ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
53
6.5. Особая точка типа седло
Система хищник-жертва имеет на фазовой плоскости
еще одну особую точке - положение равновесия
12
0, 0NN==. Исследуем поведение фазовых траекторий
вблизи нее. Для такого анализа достаточно считать в уравне-
ниях
(6.7) величины
1
N и
2
N малыми и провести линеариза-
цию, отбросив в
(6.7)произведения малых величин
12
NN . В
результате такой процедуры получаем в безразмерных пере-
менных:
12
,
x
xy y
ε
ε
=
=−
. (6.19)
Решение этих уравнений не вызывает труда:
01
( ) exp( )
x
tx t
ε
=
,
02
( ) exp( )
y
ty t
ε
=− (считается, что при 0t
=
изображающая
точка имеет на фазовой плоскости координаты (
00
,
x
y )). Из
этого решения видно, что численность жертв экспоненциаль-
но нарастает, в то время, как численность хищников экспо-
ненциально убывает с течением времени. Вдоль направления,
параллельного оси
y , точка приближается к положению рав-
новесия, а вдоль направления, параллельного оси
x
, - убыва-
ет от него. Это поведение кардинально отличается от того,
какое мы наблюдали в случае центра. Можно найти форму
фазовой траектории вблизи особой точки. Для этого пролога-
рифмируем выражения для
()
x
t
,
()yt
и приравняем t из обо-
их формул. Такая процедура приводит к соотношению
01 02
ln( / ) / ln( / ) /
x
x y y const
ε
ε
+=, из которого следует, что
00
() ()
x
ty t xy const
αα
== . (6.20)
где
12
/0
α
εε
=>. Это уравнение показывает, что вблизи осо-
бой точки фазовые траектории имеют вид гипербол, причем
роль асимптот выполняют оси координат.
Оси координат являются особыми траекториями. Чтобы ис-
следовать их, предположим, что численность хищников при
0t = равна нулю. Подставив 0y
=
в уравнения, полученные
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
