Математика. Ряды. Любимов В.М - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5
I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§1. Сходимость и расходимость ряда.
Необходимый признак сходимости.
Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел
...,...,,,
21 n
aaa
Тогда выражение
(1) ......
321
1
+++++=
∑
∞
=
n
n
n
aaaaa
называется числовым рядом, а сами числа
– членами ряда. Сумма
n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и
обозначается
:
...,,
21
aa
n
S
∑
=
+++==
n
k
nkn
aaaaS
1
21
... . (2)
Если существует предел S бесконечной последовательности чисел
, т. е.
...,...,,,
21 n
SSS
SS
n
n
=
∞→
lim
, (3)
то этот предел называют суммой ряда (1), а сам ряд (1) в этом случае
называется сходящимся. Если же предел
не существует, то ряд (1)
называют расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. Однако, если
, то иногда говорят, что ряд (1) имеет бесконечную сумму.
n
n
S
∞→
lim
∞±=
∞→
n
n
Slim
Пусть ряд (1) сходится. Тогда его частичная сумма
является
приближённым значением для суммы
n
S
S
. Погрешность этого приближения
nn
SSr
−
=
(4)
называется остатком ряда. Этот остаток является суммой ряда:
...
21
1
++==
++
∞
+=
∑
nn
n
k
kn
aaar (5)
Если ряд (1) сходится, то
0lim
=
∞→
n
n
r
.
Бесконечная геометрическая прогрессия
)0(......
12
≠+++++
−
aaqaqaqa
n
(6)
есть сходящийся числовой ряд, если
1
<
q . Сумма ряда (6) равна в этом
случае
q
a
S
−
=
1
.
В случае
1≥q ряд (6) расходится.
Если ряд (1) имеет сумму S, то ряд 
                                                    5

                               I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

                  §1. Сходимость и расходимость ряда.
                   Необходимый признак сходимости.

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел
                            a1 , a 2 , ..., a n , ...
Тогда выражение
                    ∞

                   ∑a
                   n =1
                          n   = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ...               (1)

называется числовым рядом, а сами числа a1 , a 2 , ... – членами ряда. Сумма
n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и
обозначается S n :
                                       n
                              Sn =   ∑a
                                      k =1
                                                k   = a1 + a 2 + ... + a n .   (2)

Если существует предел S бесконечной последовательности чисел
S1 , S 2 , ..., S n , ... , т. е.
                                  lim S n = S ,           (3)
                                       n →∞
то этот предел называют суммой ряда (1), а сам ряд (1) в этом случае
называется сходящимся. Если же предел lim S n не существует, то ряд (1)
                                                            n →∞
называют расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. Однако, если
lim S n = ± ∞ , то иногда говорят, что ряд (1) имеет бесконечную сумму.
n →∞
     Пусть ряд (1) сходится. Тогда его частичная сумма S n является
приближённым значением для суммы S . Погрешность этого приближения
                             rn = S − S n                       (4)
называется остатком ряда. Этот остаток является суммой ряда:
                                       ∞
                              rn =    ∑a
                                     k = n +1
                                                k   =a n +1 + a n + 2 + ...    (5)

Если ряд (1) сходится, то
                                             lim rn = 0 .
                                           n →∞
 Бесконечная геометрическая прогрессия
                   a + aq + aq 2 + ... + aq n −1 + ... (a ≠ 0)      (6)
есть сходящийся числовой ряд, если q < 1 . Сумма ряда (6) равна в этом
случае
                                          a
                                  S =           .
                                        1− q
В случае q ≥ 1 ряд (6) расходится.
 Если ряд (1) имеет сумму S, то ряд

Страницы