Математика. Ряды. Любимов В.М - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

7
сумма может быть найдена по формуле суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии:
1
2
1
1
2
1
1
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
−
=
q
a
S .
С помощью необходимого признака сходимости нельзя доказать
сходимость ряда, но иногда удаётся доказать расходимость, применяя
следствие из необходимого признака, которое легко доказывается от
противного.
Следствие из необходимого признака сходимости:
Если
, то ряд расходится.
0lim ≠
∞→
n
n
a
Пример 3. Выяснить, сходится или расходится ряд
∑
∞
=
+
1
1
n
n
n
.
Общий член этого ряда
1
+
=
n
n
a
n
. 1
1
1
1
lim
1
limlim =
+
=
+
=
∞→∞→∞→
n
n
n
a
nn
n
n
, т. е.
. На основании следствия из необходимого признака заключаем,
что данный ряд расходится.
0lim ≠
∞→
n
n
a
Пример 4. Проверить, выполняется ли необходимый признак
сходимости для ряда
∑
=
+
1
2
1
2
n
n
n
∞
.
0
11
2
lim
1
2
limlim
22
=
+
=
+
=
∞→∞→∞→
n
n
n
n
a
nn
n
n
. Необходимый признак выполняется,
поэтому ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, что можно
установить лишь после дополнительного исследования.
Исследование сходимости рядов, как правило, сводится к
вычислению некоторых пределов, при этом часто используются известные
условия эквивалентности бесконечно малых, которые применительно к
рядам принимают вид при
∞
→n :
nnnnnn
1
~
1
1ln,
1
~
1
tg,
1
~
1
sin
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ , 
                                              7

сумма может быть найдена по формуле суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии:

                                      a1   1 ⎛ 1⎞
                                S=       =   ⎜1 − ⎟ = 1 .
                                     1− q 2 ⎝    2⎠

      С помощью необходимого признака сходимости нельзя доказать
сходимость ряда, но иногда удаётся доказать расходимость, применяя
следствие из необходимого признака, которое легко доказывается от
противного.

       Следствие из необходимого признака сходимости:

            Если lim a n ≠ 0 , то ряд расходится.
                      n →∞

       Пример 3. Выяснить, сходится или расходится ряд
                                         ∞
                                                  n
                                         ∑1 n + 1 .
                                         n=

                                 n                     n         1
Общий член этого ряда a n =         . lim a n = lim       = lim      = 1 , т. е.
                               n + 1 n →∞       n →∞ n + 1 n →∞    1
                                                                1+
                                                                   n
lim a n ≠ 0 . На основании следствия из необходимого признака заключаем,
n →∞
что данный ряд расходится.

     Пример 4. Проверить, выполняется ли необходимый признак
                     ∞
                           2n
сходимости для ряда
                    n =1
                         ∑
                         n 2
                             + 1
                                 .


                 2n              2n
lim a n = lim           = lim       = 0 . Необходимый признак выполняется,
n →∞         n 2 + 1 n →∞ 1 + 1 n 2
          n →∞

поэтому ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, что можно
установить лишь после дополнительного исследования.

     Исследование сходимости рядов, как правило, сводится к
вычислению некоторых пределов, при этом часто используются известные
условия эквивалентности бесконечно малых, которые применительно к
рядам принимают вид при n → ∞ :

                             1 1    1 1    ⎛ 1⎞ 1
                       sin    ~ , tg ~ , ln⎜1 + ⎟ ~ ,
                             n n    n n    ⎝ n⎠ n

Страницы