Математика. Ряды. Любимов В.М - 5 стр.

                                                  6
                         ∞

                         ∑c ⋅ a
                         n =1
                                  n   = ca1 + ca 2 + ... + ca n + ...               (7)

сходится и имеет сумму c ⋅ S . Если же ряд (1) расходится, то (при c ≠ 0 )
расходится и ряд (7).
 Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е., если
даны сходящиеся ряды
                      S = a1 + a 2 + ... + a n + ...                  (8)
                      σ = b1 + b2 + ... + bn + ... ,                  (9)
то ряды

                     (a1 + b1 ) + (a 2 + b2 ) + ... + (a n + bn ) + ...            (10)

                     (a1 − b1 ) + (a 2 − b2 ) + ... + (a n − bn ) + ...            (11)

тоже сходятся, и суммы их соответственно равны S + σ и S − σ .

Свойство сходимости или расходимости ряда не нарушается, если
отбросить или прибавить к нему любое конечное число членов.

Необходимый признак сходимости ряда:

     Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при
n → ∞ , т. е.

                                           lim a n = 0 .
                                           n →∞

Обратное утверждение неверно. Из того, что lim a n = 0 , сходимость ряда
                                                               n →∞
 ∞

∑a
n =1
       n    не следует. Для сходимости ряда общий член ряда должен не

просто стремиться к нулю, но делать это достаточно быстро.
                                             ∞
                                                 1      1 1       1
           Пример 1. Члены ряда             ∑
                                            n =1
                                                 n
                                                   = 1 + + + ... + + ... , называемого
                                                        2 3       n
                                                                        1
гармоническим, стремятся к нулю с ростом их номеров ( lim                 = 0 ), однако
                                                                   n →∞ n
этот ряд расходится, его                 lim S n = + ∞ . (Расходимость может быть
                                         n →∞
доказана интегральным признаком).
                                                  ∞
                                            1 1 1     1         1
           Пример   2.     Члены
                                  n =1
                                        ряда
                                        n   2
                                               +
                                                 4∑2
                                                   +
                                                     8
                                                       +   =
                                                         ... +
                                                               2 n
                                                                   + ... тоже

                                             1
стремятся к нулю с ростом их номеров ( lim n = 0 ), но убывают быстрее,
                                       n →∞ 2
чем члены гармонического ряда. Этот ряд уже является сходящимся, его