Математика. Ряды. Любимов В.М - 7 стр.

                                                     8
                                                                      1
                                1 1       1 1           1
                          arcsin ~ , arctg ~ , e n − 1 ~ ,
                                n n       n n           n
                                            n
                                   ⎛n⎞
                      n ! ~ 2π n ⋅ ⎜ ⎟ (формула Стирлинга).
                                   ⎝e⎠

     Часто также приходится иметь дело с пределами:
                                                               n
                  ln n                       ⎛               1⎞
           lim        p
                           = 0 ( p > 0), lim ⎜1 +             ⎟ = e,         lim n n p = 1 .
           n →∞   n                      n →∞⎝               n⎠              n →∞



                      §2. Ряды с положительными членами.
                       Достаточные признаки сходимости.

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:
                           ∞

                          ∑
                          n =1
                               a n = a1 + a 2 + ... + a n + ...           ( a n > 0)           (1)

                           ∞

                          ∑
                          n =1
                               bn = b1 + b2 + ... + bn + ...          (bn > 0)                 (2)

      Первый признак сравнения. Если для n ≥ n 0 a n ≤ bn и ряд (2)
сходится, то сходится также и ряд (1). Если для n ≥ n 0 a n ≥ bn и ряд (2)
расходится, то расходится и ряд (1).
      Второй признак сравнения. Если существует конечный и
отличный от нуля предел
                                   a
                             lim n = A ≠ 0 ,
                             n → ∞ bn

то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
     При использовании признаков сравнения исследуемый ряд часто
сравнивают или с бесконечной геометрической прогрессией
                                       ∞

                                      ∑
                                      n =1
                                           a ⋅ qn        ( a ≠ 0) ,

которая при q < 1 сходится, а при q ≥ 1 расходится, или с рядом Дирихле
                                                 ∞
                                                         1
                                                ∑
                                                n =1 n
                                                       p

(p – действительное число). При p = 1 этот ряд является гармоническим
(можно сравнивать и с другими известными рядами).
      Признак Даламбера. Пусть для ряда (1)
                                 a
                             lim n +1 = q .
                             n →∞ a n