Математика. Ряды. Любимов В.М - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

9
Если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. При 1<q 1>q 1
=
q
вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.
Признак Коши. Пусть для ряда (1)
qa
n
n
n
=
∞→
lim .
Если
, то ряд сходится, если , то ряд расходится. При 1<q 1>q 1
=
q
вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.
Интегральный признак. Если f (x) – неотрицательная
невозрастающая функция при x > 0, то ряд
∑
∞
=1
)(
n
nf
сходится или расходится одновременно с интегралом
∫
∞
1
)( dxxf
.
Замечание 1. Нижним пределом интегрирования может быть любое
другое положительное число из области определения функции.
Замечание 2. С помощью интегрального признака легко доказать, что
ряд Дирихле
∑
∞
=1
1
n
p
n
сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.
Примеры
Пример 1. Выяснить, сходится или расходится ряд
∑
∞
=1
1
n
n
.
Данный ряд знакоположительный. Сравним его с гармоническим
рядом
∑
∞
=1
1
n
n
, который расходится. Члены данного ряда больше
соответствующих членов гармонического ряда:
...).,3,2,1(
11
=≥ n
n
n
По первому признаку сравнения из расходимости гармонического ряда
следует расходимость данного ряда.
Замечание. Расходимость данного ряда можно доказать с помощью
интегрального признака или просто указать, что ряд
∑
∞
=1
1
n
n
есть ряд
Дирихле при
2
1
=p
. Так как p < 1, то ряд расходится.
Пример 2. Выяснить, сходится или расходится ряд 
                                          9

Если q < 1 , то ряд сходится, если q > 1 , то ряд расходится. При q = 1
вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.
     Признак Коши. Пусть для ряда (1)
                              lim n a n = q .
                               n →∞
Если q < 1 , то ряд сходится, если q > 1 , то ряд расходится. При q = 1
вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.
      Интегральный признак. Если f (x) – неотрицательная
невозрастающая функция при x > 0, то ряд
                                     ∞

                                 ∑1 f (n)
                                     n=
сходится или расходится одновременно с интегралом
                                ∞

                                ∫ f ( x) dx .
                                 1
     Замечание 1. Нижним пределом интегрирования может быть любое
другое положительное число из области определения функции.
     Замечание 2. С помощью интегрального признака легко доказать, что
ряд Дирихле
                                 ∞
                                    1
                                     ∑n
                                     n =1
                                              p

сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.

                                Примеры
                                                        ∞
                                                            1
     Пример 1. Выяснить, сходится или расходится ряд   ∑
                                                      n =1 n
                                                              .

     Данный ряд знакоположительный. Сравним его с гармоническим
          ∞
              1
рядом   ∑n =1
              n
                , который расходится. Члены данного ряда больше

соответствующих членов гармонического ряда:
                          1   1
                            ≥     (n = 1, 2, 3, ...).
                           n n
По первому признаку сравнения из расходимости гармонического ряда
следует расходимость данного ряда.
     Замечание. Расходимость данного ряда можно доказать с помощью
                                                        ∞
                                                           1
интегрального признака или просто указать, что ряд     ∑
                                                      n =1  n
                                                                есть ряд

                   1
Дирихле при p = . Так как p < 1, то ряд расходится.
                   2
     Пример 2. Выяснить, сходится или расходится ряд

Страницы