Математика. Ряды. Любимов В.М - 10 стр.

                                                       11

                                                  1
       Общий член ряда a n =                            = f (n) . Записывая в этой формуле x
                                              n2 + 1
                                                            1
вместо n, получаем функцию f ( x) =          . Эта функция удовлетворяет
                                      x2 + 1
условиям интегрального признака: она принимает положительные
значения и убывает с возрастанием x. Вычислим
              +∞
                     dx                  +∞                                  π       π       π
               ∫
               1
                    2
                   x +1
                            = arctg x
                                         1
                                              = lim arctg x − arctg 1 =
                                                   x → +∞                    2
                                                                                 −
                                                                                     4
                                                                                         =
                                                                                             4
                                                                                                 .

Так как интеграл сходится, то сходится и данный ряд.
      Замечание. Сходимость данного ряда можно доказать также по
                                                              ∞
                                                                   1
второму признаку сравнения, взяв для сравнения ряд Дирихле
                                                             n =1 n 2
                                                                      ,                              ∑
сходящийся, так как p = 2 > 1.
      Пример 6. С помощью признака Даламбера выяснить, сходится или
расходится ряд
                                 ∞
                                       nn
                                n =1 2 n
                                         ⋅ n !
                                               .  ∑
                                              nn
       Общий член ряда a n =                           . Заменяя всюду n на (n + 1), получим:
                                             2n ⋅ n!
             (n + 1) n +1
a n +1 =                        . Находим:
           2 n +1 ⋅ (n + 1) !
                                                                                     n
                     a n +1 (n + 1) n +1 ⋅ 2 n ⋅ n ! (n + 1) n 1 ⎛       1⎞
                           = n +1                   =         =  ⋅ ⎜ 1 +  ⎟ ;
                      an    2 ⋅ (n + 1) !⋅ n n        2 ⋅ nn    2 ⎝      n⎠
                                                                     n
                                       a     1      ⎛               1⎞  e
                                   lim n +1 = lim ⎜1 +               ⎟ = .
                                   n →∞ a n  2 n → ∞⎝               n⎠  2
                                 e
Но e > 2, значит,                  > 1, откуда, согласно признаку Даламбера, ряд
                                 2
расходится.
     Пример 7. Применяя признак Коши, исследовать, сходится или
расходится ряд
                                               ∞                n
                                                   ⎛ 3n + 1 ⎞
                                              ∑    ⎜
                                              n =1 ⎝
                                                     2 n − 1
                                                             ⎟ .
                                                             ⎠
                                                        n
                             ⎛ 3n + 1 ⎞
       Общий член ряда a n = ⎜        ⎟ .
                             ⎝ 2n − 1 ⎠
                                                            n
                                             ⎛ 3n + 1 ⎞   3n + 1
                                    n   an = ⎜n       ⎟ =        ;
                                             ⎝ 2n − 1 ⎠   2n − 1