Математика. Ряды. Любимов В.М - 11 стр.

                                           12

                                                      1
                                                       3+
                                      3n + 1          n = 3.
                     lim n a n = lim         = lim
                     n →∞        n →∞ 2n − 1 n →∞     1 2
                                                   2−
                                                      n
                3
Так как предел    > 1, то, согласно признаку Коши, ряд расходится.
                2
     Замечание. Расходимость этого ряда можно доказать иначе. Ряд
расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости:
                                                          n
                                             ⎛  1⎞
                                      n      ⎜3+ ⎟
                           ⎛ 3n + 1 ⎞           n ⎟ = ∞.
                      lim ⎜         ⎟ = lim ⎜
                      n →∞ ⎝ 2n − 1 ⎠   n →∞ ⎜  1⎟
                                             ⎜2− ⎟
                                             ⎝  n⎠

                           §3. Знакопеременные ряды.

     Числовой ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные
члены, называется знакопеременным.
                                                              ∞
                 Пусть дан знакопеременный ряд                ∑
                                                              n=
                                                               1
                                                                 an        (1)

          Рассмотрим ряд (2), составленный из абсолютных
          величин членов данного ряда:
                       ∞

                      ∑
                      n=1
                         an    = a1 + a 2 + ... + a n + ...                (2)

          Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Ряд (1)
          в этом случае называется абсолютно сходящимся.

      Если ряд (2) расходится, то из этого не следует, вообще говоря, что и
(1) расходится: ряд (1) может оказаться как сходящимся, так и
расходящимся. Возможен случай, когда ряд (1) сходится, а (2) расходится;
тогда ряд (1) называется условно (неабсолютно) сходящимся.
       Признак Лейбница для знакопеременных рядов.
      Если члены знакочередующегося ряда
              ∞

             ∑
             n=
                (−1) n ⋅ a n = a
                 1
                                1   − a 2 + ... + (−1) n ⋅ a n + ... (a n > 0)   (3)

     1) монотонно убывают по абсолютной величине:
                        a n +1 < a n (n = 1, 2, 3, ...)
     2) и стремятся к нулю: lim a n = 0 ,
                                    n →∞
то ряд (3) сходится, сумма его S положительна и не превосходит
первого члена ряда:
                                0 < S < a1 .
     Если знакочередующийся ряд начинается с отрицательного члена:
                     − a1 + a 2 − a 3 + ... (a n > 0) ,