Математика. Ряды. Любимов В.М - 13 стр.

                                     14
                                                   ∞
                                                       sin n
     Пример 3. Доказать сходимость ряда           ∑
                                                  n  =1   n 3
                                                               .

     Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда, т. е. ряд
                  ∞
                      sin n sin 1 sin 2                    sin n
                  ∑
                 n =1   n 3
                              =
                                 13
                                       +
                                            2 3
                                                  + ... +
                                                            n 3
                                                                 + ... (5)

Так как |sin n| ≤ 1, то каждый член ряда (5) не превышает
соответствующего члена ряда
                  ∞
                       1      1     1            1
                  ∑
                 n =1 n 3
                           =
                             13
                                +
                                   2 3
                                       + ... +
                                                n 3
                                                    + ...              (6)

                                                          ∞
                                                               1
Ряд (6) является рядом Дирихле, т. е. рядом вида         ∑
                                                         n n
                                                          =1
                                                             p
                                                               , где p = 3. Так как

p > 1, то ряд (6) сходится. Согласно первому признаку сравнения, ряд (5)
также сходится. Тогда, по теореме об абсолютной сходимости, данный
знакопеременный ряд сходится абсолютно.
       Пример 4. Сколько членов ряда
               ∞
                       n +1 1       1     1    1      (−1) n
             ∑n =1
                   (−1) ⋅ 3 = 1 − 3 + 3 − 3 + ... +
                            n      2     3    4        n 3
                                                             + ...

нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?
       Данный ряд является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим
всем условиям признака Лейбница:
                            1  1     1              1
                       1 > 3 > 3 > 3 > ...; lim 3 = 0 .
                           2  3     4         n →∞ n
Следовательно, данный ряд сходится, притом абсолютно.
       Чтобы вычислить сумму этого ряда с указанной точностью,
необходимо найти такой член, абсолютная величина которого меньше 0,
001, т. е.
 1
  3
    < 0,001 или n 3 > 1000 , иначе говоря, n > 10. Следовательно, нужно
n
просуммировать 10 первых членов данного ряда. Так как
                                      1
                              a11 = 3 < 0,001 ,
                                     11
то получаем следующую оценку для ошибки:
                               r10 ≤ a11 < 0,001 .
       Пример 5. Исследовать, сходится или расходится ряд
                           ∞                       n
                                    ⎛   1⎞
                          ∑
                        n =1
                                   n +1
                             (−1) ⋅ ⎜1 + ⎟ .
                                    ⎝   n⎠
Данный ряд знакочередующийся. Абсолютная величина его общего члена
                                              n
                                     ⎛      1⎞
                               a n = ⎜1 +    ⎟ .
                                     ⎝      n⎠
Поскольку