Математика. Ряды. Любимов В.М - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

15
e
1
1limlim =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∞→∞→
n
n
n
n
n
a ,
т. е. общий член ряда к нулю не стремится, ряд расходится (не выполнен
необходимый признак сходимости).
В заключение темы "Числовые ряды" напомним, какие признаки
сходимости можно применять к рядам с положительными членами, и
какие – к знакопеременным рядам:
Необходимый признак сходимости
Ряды с положительными членами Знакопеременные ряды
Признаки сравнения
Признак Даламбера
Признак Коши
Интегральный признак
Теорема Лейбница
(знакочередующиеся ряды)
Теорема об абсолютной
сходимости
(знакопеременные ряды)
II. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§1. Сходимость функциональных рядов.
Ряд
...)(...)()()(
21
1
++++=
∑
∞
=
xuxuxuxu
n
n
n
(1)
называется функциональным, если его члены являются функциями от
аргумента x.
При каждом фиксированном значении
0
xx
=
функциональный ряд
(1) становится числовым рядом
...)(...)()()(
00201
1
0
++++=
∑
∞
=
xuxuxuxu
n
n
n
(2)
Если ряд (2) сходится, то
называется точкой сходимости ряда (1).
Совокупность всех точек сходимости x функционального ряда (1)
называется его областью сходимости, а функция
0
x
∑
=
∞→∞→
==
n
k
k
n
n
n
xuxSxS
1
)(lim)(lim)(
–
суммой данного ряда. Функция
)()()( xSxSxr
nn
−
=
называется остатком ряда (1).
Если ряд (2) расходится, то значение
называется точкой
расходимости ряда.
0
x
                                             15
                                                           n
                                       ⎛  1⎞
                        lim a n = lim ⎜1 + ⎟ = e ,
                        n →∞      n → ∞⎝  n⎠
т. е. общий член ряда к нулю не стремится, ряд расходится (не выполнен
необходимый признак сходимости).
       В заключение темы "Числовые ряды" напомним, какие признаки
сходимости можно применять к рядам с положительными членами, и
какие – к знакопеременным рядам:


                  Необходимый признак сходимости

Ряды с положительными членами                                     Знакопеременные ряды

Признаки сравнения                                              Теорема        Лейбница
Признак Даламбера                                               (знакочередующиеся ряды)
Признак Коши                                                    Теорема об абсолютной
Интегральный признак                                            сходимости
                                                                (знакопеременные ряды)

                         II. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

               §1. Сходимость функциональных рядов.

      Ряд
                  ∞

                 ∑1 u
                 n=
                        n ( x)   = u1 ( x) + u 2 ( x) + ... + u n ( x) + ...              (1)

называется функциональным, если его члены являются функциями от
аргумента x.
       При каждом фиксированном значении x = x 0 функциональный ряд
(1) становится числовым рядом
                  ∞

                 ∑1 u
                 n=
                        n ( x0 )   = u1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...   (2)

Если ряд (2) сходится, то x 0 называется точкой сходимости ряда (1).
Совокупность всех точек сходимости x функционального ряда (1)
называется его областью сходимости, а функция
                                                            n
                      S ( x) = lim S n ( x) = lim
                                 n →∞               n →∞
                                                           ∑1 u
                                                           k=
                                                                  k   ( x)

– суммой данного ряда. Функция
                           rn ( x) = S ( x) − S n ( x)
называется остатком ряда (1).
     Если ряд (2) расходится, то значение x 0 называется точкой
расходимости ряда.

Страницы