Математика. Ряды. Любимов В.М - 16 стр.

                                            17

– степенной ряд, имеющий интервал сходимости (–R, R). Тогда ряд
                 ϕ ( x) = a1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + ... + na n x n −1 + ...
сходится на том же интервале, и его сумма ϕ ( x) = S ' ( x) при x < R .
       Простейшим примером степенного ряда является геометрическая
прогрессия 1 + x + x 2 + ... + x n + ... . Этот ряд сходится при q = x < 1 .
Следовательно, для данного ряда радиус сходимости R = 1, а интервалом
сходимости является интервал (–1, 1 ). Сумма этого ряда равна
                                                      1
                                        S ( x) =
                                                   1− x
                                                     a
(в соответствии с формулой S ( x) =                      , a = 1, q = x). Поэтому для
                                                  1− q
                    1
функции S ( x) =        имеем следующее разложение в степенной ряд:
                 1− x
                       1
                            = 1 + x + x 2 + ... + x n + ... ( x < 1)                     (5)
                     1− x
      Пример 1. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
                                             ∞
                                                  xn
                                         ∑  n =1
                                                  n !
                                                      .

      Применим формулу (4):
                        a               1         1
                 lim n = lim :                           = lim (n + 1) = ∞ .
                 n →∞ a n +1     n →∞ n ! ( n + 1) !       n →∞

R = ∞, значит, ряд сходится при всех x, т. е. в интервале (– ∞, + ∞). Заметим
                                                                         xn
для дальнейшего, что из сходимости ряда вытекает: lim                        = 0 при всех x.
                                                                   n →∞ n !
      Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда
                                          ∞
                                               nn n
                                       ∑ n =1
                                               n  !
                                                    x .

      Радиус сходимости найдём по признаку Даламбера:
                          n n ⋅ (n + 1) !                    n +1          1
               R = lim                      =   lim                      =   .
                    n →∞ n !⋅( n + 1) n +1     n →∞             n          e
                                                      ⎛    1  ⎞
                                                      ⎜1 + ⎟ ⋅ (n + 1)
                                                      ⎝    n⎠
                                                                    1        1
Таким образом, ряд сходится на интервале − < x < . Исследуем
                                                                     e       e
сходимость ряда на концах интервала:
                                                        ∞               n
                                                nn                ⎛ 1⎞
       1) На левом конце ряд принимает вид
                                           n =1
                                                n!     ∑        ⋅ ⎜ − ⎟ , т. е. является
                                                                  ⎝ e⎠
                                                                                   nn
знакочередующимся. Абсолютная величина его общего члена                                   n
                                                                                              с
                                                                                  n !⋅e
учётом формулы Стирлинга (стр. 4) эквивалентна при n → ∞