ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
0)(lim
=
∞→
xR
n
n
(5)
для всех x из указанного отрезка, то функция на этом отрезке является
суммой степенного ряда
...)(
!
)(
...)(
!1
)('
)()(
)(
+−++−+=
n
n
ax
n
af
ax
af
afxf (6)
Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции.
В случае a = 0 ряд Тейлора принимает вид
...
!
)0(
...
!1
)0('
)0()(
)(
++++=
n
n
x
n
f
x
f
fxf (7)
Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции.
Разложение функции в степенной ряд единственно, т. е., если
функция f (x) разложена каким-либо образом в степенной ряд
...)(...)()(
10
+−++−+=
n
n
axaaxaaxf ,
то
!
)(
)(
n
af
a
n
n
= .
Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции,
которая в окрестности точки a имеет производные любого порядка.
Однако этот ряд будет сходиться к породившей его функции f (x) только
при тех значениях x, при которых остаточный член )
при
неограниченном возрастании n стремится к нулю.
(xR
n
Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:
1) Написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычислить
значения этой функции и её производных при x = a и подставить их в
общее выражение ряда Тейлора (6);
2) исследовать остаточный член
формулы Тейлора для данной
функции и определить те значения x, при которых полученный ряд
сходится к данной функции, т. е. при которых
n
R
0)(lim
=
∞→
xR
n
n
.
При разложении функций в степенные ряды часто используются
разложения в ряд Маклорена следующих функций:
)(...
!
...
!2!1
1
!
e
2
0
∞+<<∞−+++++==
∑
∞
=
x
n
xxx
n
x
n
n
n
x
(8)
)(...
!7!5!3!)12(
)1(sin
753
1
12
∞+<<∞−+−+−=
−
−=
∑
∞
=
−
x
xxx
x
n
x
x
n
n
n
(9)
)(...
!6!4!2
1
!)2(
)1(cos
642
0
2
∞+<<∞−+−+−=−=
∑
∞
=
x
xxx
n
x
x
n
n
n
(10)
)11(...
432
)1()1(ln
432
1
1
≤<−+−+−=−=+
∑
∞
=
−
x
xxx
x
n
x
x
n
n
n
(11)
19
lim Rn ( x) = 0 (5)
n →∞
для всех x из указанного отрезка, то функция на этом отрезке является
суммой степенного ряда
f ' (a) f ( n) (a)
f ( x) = f (a ) + ( x − a ) + ... + ( x − a ) n + ... (6)
1! n!
Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции.
В случае a = 0 ряд Тейлора принимает вид
f ' ( 0) f ( n ) (0) n
f ( x ) = f ( 0) + x + ... + x + ... (7)
1! n!
Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции.
Разложение функции в степенной ряд единственно, т. е., если
функция f (x) разложена каким-либо образом в степенной ряд
f ( x) = a 0 + a1 ( x − a) + ... + a n ( x − a) n + ... ,
(n)
f(a)
то a n = .
n!
Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции,
которая в окрестности точки a имеет производные любого порядка.
Однако этот ряд будет сходиться к породившей его функции f (x) только
при тех значениях x, при которых остаточный член Rn (x) при
неограниченном возрастании n стремится к нулю.
Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:
1) Написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычислить
значения этой функции и её производных при x = a и подставить их в
общее выражение ряда Тейлора (6);
2) исследовать остаточный член Rn формулы Тейлора для данной
функции и определить те значения x, при которых полученный ряд
сходится к данной функции, т. е. при которых lim Rn ( x) = 0 .
n →∞
При разложении функций в степенные ряды часто используются
разложения в ряд Маклорена следующих функций:
∞
xn x x2 xn
x
e =
n =0
n ! ∑
=1+ +
1! 2 !
+ ... +
n !
+ ... (− ∞ < x < + ∞) (8)
∞
x 2 n −1 x3 x5 x7
sin x =
n =1
∑
(−1)
( 2 n −
n
1 ) !
=x−
3 !
+
5 !
−
7 !
+ ... (− ∞ < x < + ∞) (9)
∞
x 2n x2 x4 x6
cos x =
n =0
∑
(−1)
( 2 n )
n
!
=1−
2 !
+
4 !
−
6 !
+ ... (− ∞ < x < + ∞) (10)
∞
xn x2 x3 x4
ln (1 + x) = ∑
n =1
(−1) n −1
n
=x−
2
+
3
−
4
+ ... (−1 < x ≤ 1) (11)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
