Математика. Ряды. Любимов В.М - 19 стр.

                                                        20

                   α          α (α − 1)                 α (α − 1)...(α − n + 1)
(1 + x) α = 1 +         x+                x 2 + ... +                             x n + ... (−1 < x < 1)
                   1!            2!                               n!
                                                                                                   (12)
                              1
                                  = 1 + x + x 2 + ... + x n + ... (−1 < x < 1)                     (13)
                             1− x
               1
                  = 1 − x + x 2 − x 3 + ... + (−1) n ⋅ x n + ... (−1 < x < 1)       (14)
             1+ x
В скобках указаны промежутки, на которых верны данные разложения.
       Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = arcsin x,
                                         1
используя разложение функции                   .
                                             2
                                       1− x
                       1
       Разложим                в ряд Маклорена, для чего воспользуемся
                          2
                     1− x
                                                                                      1
формулой (12), заменив в этой формуле x на − x 2 и положив α = − .
                                                                                      2
Получим:
             1         1        1⋅ 3 4           1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) 2 n
                  =1 + x2 +           x + ... +                             x + ...
           1− x 2      2        2 ⋅ 4                2 ⋅ 4 ⋅ 6  ⋅ ... ⋅ 2 n
Этот ряд сходится при |x| < 1. Интегрируя его по промежутку [0, x], где
0 < x < 1, находим:
                  x                   x
                         dx      ⎛  1      1⋅ 3 4     ⎞
                  ∫
                  0     1 − x2 0 ⎝
                                    ∫
                              = ⎜1 + x 2 +
                                    2      2⋅4
                                               x + ...⎟ dx =
                                                      ⎠
    1 x       3
          1⋅ 3 x5         1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) x 2 n +1
= x+ ⋅  +     ⋅   + ... +                           ⋅         + ...
    2 3 2⋅4 5                 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 2n    2n + 1
          x
                   dx
Так как   ∫
          0       1− x   2
                             = arcsin x , то

                       1 3          1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) x 2 n +1
         arcsin x = x + ⋅ x + ... +                           ⋅         + ...
                       6                2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 2n    2n + 1
Полученный ряд сходится при |x| < 1 (см. §2).

                               §4. Приложения степенных рядов.

      Ряды широко используются в приближённых вычислениях. С
помощью рядов с заданной точностью можно вычислить значения корней,
тригонометрических функций, логарифмов чисел, определённых
интегралов.   Ряды    применяются     также   при    интегрировании
дифференциальных уравнений.
     Интегрирование многих дифференциальных уравнений не
приводится к квадратурам, а их решения не выражаются в элементарных
функциях. Решения некоторых из этих уравнений могут быть
представлены в виде степенных рядов, сходящихся в определённых