Математика. Ряды. Любимов В.М - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22
Вычислим значения этих производных при x = 0, принимая во внимание
начальное условие
2
1
)0( =y и данное уравнение
, откуда
22
' yxy +=
4
1
2
1
0)0('
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=y ;
4
1
4
1
2
1
202)0('' =⋅⋅+⋅=y
;
8
19
4
1
2
1
2
4
1
22)0('''
2
=⋅⋅+⋅+=y
;
4
11
8
19
8
1
4
1
)0(
)4(
=++=y .
Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получаем:
...
96
11
48
19
8
1
4
1
2
1
)(
432
+++++= xxxxxy
III. РЯДЫ ФУРЬЕ
1. Рядом Фурье функции f (x), определённой на отрезке [–π, π],
называется ряд
()
∑
∞
=
++
1
0
sincos
2
n
nn
nxbnxa
a
,
коэффициенты которого определяются по формулам
∫
−
=
π
π
0
)(
π
1
dxxfa ,
...),2,1(cos)(
π
1
π
π
==
∫
−
ndxnxxfa
n
,
...),2,1(sin)(
π
1
π
π
==
∫
−
ndxnxxfb
n
(1.1)
При этом пишут
∑
∞
=
++
1
0
)sincos(
2
~)(
n
nn
nxbnxa
a
xf (1.2)
Поскольку построение ряда (1.2) выполнено формально, то этот ряд
может расходиться или сходиться, но сумма его, вообще говоря, может не
совпадать с разложенной в него функцией.
2.Сформулируем достаточные условия, при выполнении которых
ряд (1.2) имеет сумму, равную заданной функции
f (x):
Функция
f (x) может иметь на отрезке [–π, π] лишь конечное число
максимумов и минимумов и должна быть непрерывной, за
исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого
рода.
Эти условия называются условиями Дирихле.
Теорема Дирихле. Если функция f (x) удовлетворяет условиям
Дирихле на отрезке [–π, π], то её ряд Фурье сходится к функции f (x) во
всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции 
                                           22

Вычислим значения этих производных при x = 0, принимая во внимание
                                      1
начальное условие y (0) = и данное уравнение y ' = x 2 + y 2 , откуда
                                      2
                                 2
                          ⎛1⎞       1                       1 1 1
           y ' ( 0) = 0 + ⎜ ⎟ = ; y ' ' ( 0 ) = 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ ⋅ = ;
                          ⎝ 2⎠      4                       2 4 4
                         1         1 1 19                 1 1 19 11
y ' ' ' (0) = 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ ⋅ = ; y ( 4) (0) = + +               = .
                        4          2 4 8                  4 8 8      4
          Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получаем:
                                    1 1       1        19 3 11 4
                            y ( x) = + x + x 2 +           x +    x + ...
                                    2 4       8        48      96

                             III. РЯДЫ ФУРЬЕ

     1. Рядом Фурье функции f (x), определённой на отрезке [–π, π],
называется ряд
                         ∞
                    a0
                       +
                     2 n =1  ∑
                            (a n cos nx + bn sin nx ),
коэффициенты которого определяются по формулам
                                           π
                                       1
                                  a0 =
                                       π   ∫ f ( x) dx ,
                                           −π
                              π
                          1
                     an =
                          π   ∫ f ( x) cos nx dx
                              −π
                                                       (n = 1, 2, ...) ,

                                π
                              1
                      bn =
                              π   ∫ f ( x) sin nx dx
                                  −π
                                                           (n = 1, 2, ...)   (1.1)

При этом пишут
                                      ∞
                                 a0
                        f ( x) ~    +
                                  2 n =1∑(a n cos nx + bn sin nx)  (1.2)

       Поскольку построение ряда (1.2) выполнено формально, то этот ряд
может расходиться или сходиться, но сумма его, вообще говоря, может не
совпадать с разложенной в него функцией.
      2.Сформулируем достаточные условия, при выполнении которых
ряд (1.2) имеет сумму, равную заданной функции f (x):
      Функция f (x) может иметь на отрезке [–π, π] лишь конечное число
      максимумов и минимумов и должна быть непрерывной, за
      исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого
      рода.
Эти условия называются условиями Дирихле.
      Теорема Дирихле. Если функция f (x) удовлетворяет условиям
Дирихле на отрезке [–π, π], то её ряд Фурье сходится к функции f (x) во
всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции

Страницы