Математика. Ряды. Любимов В.М - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

21
интервалах. Ряд, являющийся решением дифференциального уравнения,
можно найти или способом неопределённых коэффициентов, или
способом, основанным на применении ряда Тейлора (Маклорена). Способ
неопределённых коэффициентов особенно удобен в применении к
линейным уравнениям.
Пример 1. Вычислить интеграл с точностью .
∫
−
4/1
0
2
e dx
x
4
10
−
Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для этого в
основное разложение (8), §3 подставим
2
x
−
вместо x:
)(...
!
)1(...
!2!1
1e
242
2
∞+<<∞−+−+−+−=
−
x
n
xxx
n
nx
.
Этот ряд можно интегрировать в любых конечных пределах, т. е.
∑
∫∫
∑
∫
∞
=
∞
=
−
−
=−=
0
4/1
0
2
4/1
0
0
2
4/1
0
!
)1(
!
)1(e
2
n
n
n
n
n
nx
dxx
n
dx
n
x
dx =
=
∑∑
∞
=
+
∞
=
+
⋅+⋅
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅
−
0
12
0
4/1
0
12
4)12(!
)1(
12!
)1(
n
n
n
n
n
n
nn
n
x
n
.
Полученный числовой ряд есть знакочередующийся,
удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, поэтому если мы возьмём
для вычислений несколько первых членов ряда, то ошибка, которая при
этом будет сделана, не превзойдёт абсолютной величины первого из
отброшенных членов.
Замечаем, что третий член ряда
4
5
10
10240
1
45!2
1
−
<=
⋅⋅
.
Следовательно, чтобы вычислить интеграл с точностью до
4
10
−
,
достаточно взять всего два члена ряда. С требуемой точностью
2448,0
192
1
4
1
43!1
1
4
1
e
3
4/1
0
2
≈−=
⋅⋅
−≈
∫
−
dx
x
.
Пример 2. Найти первые пять членов разложения в ряд решения
уравнения
, удовлетворяющего условию
22
' yxy +=
2
1
=y
при 0=
x
.
Искомое решение запишем в виде ряда Маклорена:
...
!
)0(
...
!3
)0('''
!2
)0(''
!1
)0('
)0()(
)(
32
++++++=
n
n
x
n
y
x
y
x
y
x
y
yxy
Найдём выражения для трёх производных, дифференцируя исходное
уравнение:
'''2'''6,''2)'(22''','22''
)4(2
yyyyyyyyyyyxy +=+⋅+=+=
. 
                                                      21

интервалах. Ряд, являющийся решением дифференциального уравнения,
можно найти или способом неопределённых коэффициентов, или
способом, основанным на применении ряда Тейлора (Маклорена). Способ
неопределённых коэффициентов особенно удобен в применении к
линейным уравнениям.
                                                        1/ 4

                                                           ∫
                                                                  2
        Пример 1. Вычислить интеграл                           e − x dx с точностью 10 −4 .
                                                           0
     Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для этого в
основное разложение (8), §3 подставим − x 2 вместо x:
            − x2     x2 x4               n x
                                             2n
          e      =1−   +    − ... + (−1)        + ... (− ∞ < x < + ∞) .
                     1! 2 !                 n!
     Этот ряд можно интегрировать в любых конечных пределах, т. е.
                1/ 4                 1/ 4 ∞                           ∞     1/ 4
                                                    x 2n           (−1) n
                 ∫e                  ∫∑                           ∑          ∫x
                       − x2                       n                                2n
                              dx =             (−1)      dx =                           dx =
                                          n =0
                                                     n !      n =0
                                                                     n!
                 0                    0                                      0
    ∞      ⎛ x 2 n +1 1 / 4 ⎞ ∞
       (−1) n                                (−1) n
           ⎜                ⎟
= ∑       ⋅⎜
         n!
                              =           ∑
           ⎜ 2n + 1 0 ⎟⎟ n =0 n !⋅ (2n + 1) ⋅ 4 2 n +1
                                                         .
  n =0     ⎝                ⎠
     Полученный              числовой           ряд     есть    знакочередующийся,
удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, поэтому если мы возьмём
для вычислений несколько первых членов ряда, то ошибка, которая при
этом будет сделана, не превзойдёт абсолютной величины первого из
отброшенных членов.
     Замечаем, что третий член ряда
                                     1           1
                                           5
                                             =       < 10 − 4 .
                                2 !⋅ 5 ⋅ 4     10240
Следовательно, чтобы вычислить интеграл с точностью до 10 −4 ,
достаточно взять всего два члена ряда. С требуемой точностью
                        1/ 4
                                            1      1       1   1
                         ∫
                                 2
                              e − x dx ≈      −          =   −   ≈ 0,2448 .
                                            4 1!⋅ 3 ⋅ 4 3 4 192
                          0
     Пример 2. Найти первые пять членов разложения в ряд решения
                                                                                1
уравнения y ' = x 2 + y 2 , удовлетворяющего условию y = при x = 0 .
                                                                                2
     Искомое решение запишем в виде ряда Маклорена:
                        y ' ( 0)       y ' ' (0) 2 y ' ' ' (0) 3               y ( n ) (0) n
     y ( x) = y (0) +            x+             x +                 x + ... +              x + ...
                            1!            2!               3!                      n!
Найдём выражения для трёх производных, дифференцируя исходное
уравнение:
      y ' ' = 2 x + 2 yy ' , y ' ' ' = 2 + 2 ⋅ ( y ' ) 2 + 2 yy ' ' , y ( 4) = 6 y ' y ' '+2 yy ' ' ' .

Страницы