Математика. Ряды. Любимов В.М - 22 стр.

                                                    23

                               f (c − 0) + f (c + 0)
ряд сходится к полусумме                               её предельных значений
                                          2
слева и справа (c – точка разрыва первого рода). Если f (− π) ≠ f ( π) , то
                                                f (− π + 0) + f ( π − 0)
в точках ± π ряд сходится к значению                                     . При этом
                                                           2
сумма ряда (1.2) является периодической с периодом 2π функцией на
всей оси Ox.
      3. Пусть теперь функция f (x) задана на отрезке [–l, l]. Ряд Фурье в
этом случае имеет вид
                               ∞
                          a0                nπx           nπx
                 f ( x) ~    +
                           2 n =1        ∑
                                   (a n cos
                                             l
                                                + bn sin
                                                            l
                                                              ),               (3.1)

где
                                                     l
                                               1
                                          a0 =
                                               l    ∫ f ( x) dx ,
                                                    −l
                                     l
                                 1                       nπx
                          an =
                                 l   ∫ f ( x) cos
                                     −l
                                                          l
                                                             dx (n = 1, 2, ...) ,

                                          l
                                 1                         nπx
                            bn =
                                 l        ∫
                                         −l
                                              f ( x) sin
                                                            l
                                                               dx (n = 1, 2, ...)     (3.2)

      Вопрос о сходимости ряда (3.1), в свою очередь, определяется
теоремой Дирихле, но на отрезке [–l, l], соответственно. Суммой ряда
будет периодическая на всей числовой оси функция с периодом 2l.
      Замечание: Значок ~ в (1.2) и (3.1) нужно понимать следующим
образом: если f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на [–π, π] и [–l, l]
соответственно, то во всех точках её непрерывности значок ~ надо
заменить знаком = и помнить, что в точках разрыва сумма ряда равна
полусумме левого и правого пределов f (x) в этих точках, а на концах
           f (− π ) + f ( π) ⎛ f (−l ) + f (l ) ⎞
отрезка –                    ⎜                  ⎟ , если f (− π) ≠ f ( π) ( f (−l ) ≠ f (l )
                   2         ⎝         2        ⎠
соответственно).
      Пример 1. Разложить функцию
                                        ⎧0, − 2 ≤ x ≤ 0,
                               f ( x) = ⎨
                                        ⎩ x, 0 < x ≤ 2
в ряд Фурье на интервале (–2, 2).