Математика. Ряды. Любимов В.М - 24 стр.

                                                   25

           а) Пусть функция f (x), заданная на отрезке [–l, l] – чётная и
удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда ряд Фурье для этой функции
будет содержать только a 0 и члены с косинусами, т. е.
                                    ∞
                               a0             nπx
                      f ( x) =    + ∑ a n cos     ,                  (4.1)
                               2 n =1          l
                           l
                    2                        nπx
               an =
                    l      ∫0   f ( x) cos
                                              l
                                                 dx (n = 0, 1, 2, ...), bn = 0 .

      Пример 2. Разложить в ряд Фурье на отрезке [–π, π] чётную




функцию f (x) = |x|.
                                          Рис. 3
      Данная функция непрерывна на заданном отрезке (l = π) и имеет на
нём один экстремум, поэтому удовлетворяет условиям Дирихле.
      Ряд (4.1) в данном случае принимает вид
                                             ∞
                                       a0
                              f ( x) =     + ∑ a n cos nx .
                                       2 n =1
Так как f (x) = |x| = x при 0 ≤ x ≤ π, то
              π                       π
           2       2 x2
      a0 =
           π  ∫0
             x dx = ⋅
                   π 2                0
                                          = π,

               π                  ⎧u = x, du = dx,                   ⎫
             2                    ⎪                                  ⎪
       an =
             π∫   x cos nx dx = ⎨
                                  ⎪⎩ dv =  cos  nx dx , v =
                                                            1
                                                              sin nx
                                                                     ⎬=
                                                                     ⎪⎭
               0                                            n
  2 ⎡x                               ⎤
               π        π
                     1                      2                     2
= ⎢ sin nx −
  π ⎢n
     ⎣         0     n ∫0
                          sin nx dx ⎥ = 2 (cos nπ − 1) = 2 ((−1) n − 1) =
                                     ⎥⎦ πn                      πn
  ⎧0, n = 2k − чётное (k = 1, 2, ...),
  ⎪
=⎨ 4                 4
    − 2 =−                     , n = 2k − 1 − нечётное. Следовательно,
  ⎪ n π        ( 2 k − 1 ) 2
                             π
  ⎩
                                         ∞
                                π                  1
                      f ( x) = − 4 ⋅
                                2            ∑
                                        k =1 ( 2k − 1) π
                                                        2
                                                           cos (2k − 1) x .

       В соответствии с теоремой Дирихле, график суммы ряда Фурье –
периодическая функция с периодом 2π, которая совпадает с f (x) на отрезке
[–π, π] (рис. 4).