Математика. Ряды. Любимов В.М - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

27
где
∫
⎪
⎬
⎫
⎪
⎨
⎧
==
==
2
0
π
2
π
,,
2
π
sin
2
2
xn
xn
dxduxu
dx
xn
xb
n
=
⎪
⎭
⎪
⎩
−==
2
cos
π
,
2
sin
n
vdxdv
=
2
0
22
2
0
2
0
2
π
sin
π
4
πcos
π
4
2
π
cos
π
2
2
π
cos
π
2 xn
n
n
n
dx
xn
n
xn
n
x +−=+⋅−
∫
=
π
4
)1
1
n
n+
. Таким образом,
=
(
−
∑
∞
=
+
−
=
1
1
2
π
sin
)1(
π
4
)(
n
n
xn
n
xf .
На рис. 7 изображены графики частичных сумм ряда Фурье
=
)(
1
xS
2
π
sin
π
4 x
,
=
)(
2
x = S x
xπ
sin
4
− πsin
2π
4
2π
, = )(
3
xS x
x
πsin
2π
4
2
π
sin
π
4
− +
+
2
π3
sin
3π
4 x
:
5. Разложение отрезке [0, l].
В этом на полуинтервал
[–l, 0) либо чётным случае получится
чётная на [–l, l] в ряд Фурье по
косинусам, а во ряд Фурье будет
содержать только синусы. В обоих х
на отрезке [0, l] эти ряды дадут
уинтервал [-2,0)
Рис. 7
в ряд Фурье функций, заданных на
случае можно доопределить функцию
, либо нечётным образом. В первом
функция, которая будет раскладываться
втором – нечётная на [–l, l] функция, и её
случая
разложение исходной функции в ряд Фурье.
Пример 4. Разложить функцию f (x) = x, заданную на отрезке [0, π],
доопределив её чётным образом на полуинтервал [–π, 0).
В результате получим чётную функцию φ (x); для x < 0 будет φ (x) =
= φ (–x) = f (–x) = –x, следовательно, φ (x) = |x| на [–π, π]. Разложение этой
функции было сделано в примере 2, и оно
одновременно является
разложением f (x) = x на отрезке [0, π].
Пример 5. Разложить функцию f (x) = x + 1, заданную на отрезке
[0, 2], в ряд Фурье, продолжив её нечётным образом на пол
                                           27

           2                ⎧u = x, du = dx,                 ⎫
         2         nπx      ⎪                                ⎪
где bn =
         2
           0
              ∫
             x sin
                    2
                       dx = ⎨         nπx           2    nπx ⎬ =
                            ⎪⎩dv = sin 2 dx, v = − nπ cos 2 ⎪⎭
                      2       2                                        2
        2   nπx              2       nπx        4         4      nπx
= − x ⋅ cos
       nπ    2        0
                          +
                            nπ∫0
                                 cos
                                      2
                                         dx = − cos nπ + 2 2 sin
                                               nπ       n π       2    0
                                                                           =

               4
= (−1) n +1      . Таким образом,
              nπ
                                       ∞
                                     4     (−1) n +1      nπx
                            f ( x) =  ∑
                                     π n =1 n
                                                     sin
                                                           2
                                                               .

      На рис. 7 изображены графики частичных сумм ряда Фурье S1 ( x) =
  4     πx              4     πx 4                           4   πx 4
= sin       , S 2 ( x) = sin       −    sin πx , S 3 ( x) = sin    −  sin πx +
  π      2              π      2 2π                          π   2 2π
   4     3πx
+    sin       :
  3π       2




                                    Рис. 7
        5. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке [0, l].
              В этом случае можно доопределить функцию на полуинтервал
[–l, 0) либо чётным, либо нечётным образом. В первом случае получится
чётная на [–l, l] функция, которая будет раскладываться в ряд Фурье по
косинусам, а во втором – нечётная на [–l, l] функция, и её ряд Фурье будет
содержать только синусы. В обоих случаях на отрезке [0, l] эти ряды дадут
разложение исходной функции в ряд Фурье.
        Пример 4. Разложить функцию f (x) = x, заданную на отрезке [0, π],
доопределив её чётным образом на полуинтервал [–π, 0).
        В результате получим чётную функцию φ (x); для x < 0 будет φ (x) =
= φ (–x) = f (–x) = –x, следовательно, φ (x) = |x| на [–π, π]. Разложение этой
функции было сделано в примере 2, и оно одновременно является
разложением f (x) = x на отрезке [0, π].
        Пример 5. Разложить функцию f (x) = x + 1, заданную на отрезке
[0, 2], в ряд Фурье, продолжив её нечётным образом на полуинтервал [-2,0)

Страницы