Математика. Ряды. Любимов В.М - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26
Рис. 4
На рис. 5 изображены графики частичных сумм ряда Фурье
=
=
)(
1
xS
xcos
π
4
2
π
− , = )(
2
xS xx 3cos
9π
4
cos
π
4
2
π
−− , = )(
3
xS xcos
π
4
2
π
− –
–
x3cos
9π
4
– x5cos
25π
4
:
нечётная и
удовлетворяет функции
будет
Рис. 5
б) Пусть функция f (x), заданная на отрезке [–l, l] –
условиям Дирихле. Тогда ряд Фурье для этой
содержать только члены с синусами:
∑
∞
=
=1n
π
sin)(
n
l
xn
bxf ,
где
∫
==
n
ndx
l
xn
xf
l
b
0
...),2,1,0(
π
sin)(
2
.
Пример 3. Разложить в ряд Фурье
l
на отрезке [–2, 2] нечётную
функцию f (x) = x.
Эта функция на условиям Дирихле,
так как непрерывна и Ряд Фурье для данной
функции имеет вид
Рис. 6
заданном отрезке удовлетворяет
не имеет там экстремумов.
∑
∞
=1n
=
2
π
sin)(
n
xn
bxf , 
                                                  26

                                Рис. 4
      На рис. 5 изображены графики частичных сумм ряда Фурье S1 ( x) =
  π 4                     π 4       4                    π 4
= − cos x , S 2 ( x) = − cos x −      cos 3x , S 3 ( x) = − cos x –
  2 π                     2 π      9π                    2 π
   4           4
–    cos 3x –     cos 5 x :
  9π          25π




                                   Рис. 5
           б) Пусть функция f (x), заданная на отрезке [–l, l] – нечётная и
удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда ряд Фурье для этой функции
будет содержать только члены с синусами:
                                    ∞
                                               nπx
                          f ( x) =
                                   n =1
                                        bn sin ∑l
                                                   ,

             l
         2                     nπx
где bn =
         l   ∫0   f ( x) sin
                                l
                                   dx (n = 0, 1, 2, ...) .

     Пример 3. Разложить в ряд Фурье на отрезке [–2, 2] нечётную
функцию f (x) = x.




                                   Рис. 6
      Эта функция на заданном отрезке удовлетворяет условиям Дирихле,
так как непрерывна и не имеет там экстремумов. Ряд Фурье для данной
функции имеет вид
                                    ∞
                                               nπx
                          f ( x) =
                                   n =1
                                        bn sin ∑2
                                                   ,

Страницы