Математика. Ряды. Любимов В.М - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28
Рис. 8
нечётную функцию φ
– 1, следовательно, φ (x) =
В результате получим (x); для x < 0 будет φ (x)
= – φ (–x) = – f (–x) = x
⎩
⎨
⎧
≤≤+
<≤−
−
.20,1
,02,1
xx
xx
Эта
функция непрерывна на [–2, 2] за ением точки x = 0, в которой она
меет
исключ
и разрыв первого рода, т. е. удовлетворяет условиям Дирихле:
φ (x) =
∑
∞
=1
π
n
xn
2
sin
n
b ,
где
∫
⎪
⎬
⎫
⎪
⎨
⎧
−==
=+=
=+=
2
π2π
,,1
2
π
sin)1(
2
2
xn
vdx
xn
dv
dxduxu
dx
xn
xb
n
=
⎪
⎭
⎪
0
2
cos
π
,
2
sin
n
⎩
[]
2
0
22
2
0
2
0
2
π
sin
π
4
1πcos3
π
2
2
π
cos
π
2
2
π
cos
π
2
)1(
xn
n
n
n
dx
xn
n
xn
n
x ++−=+⋅+−
∫
=
[]
nn
n
n
1
)1(31
π
2
)1(31
π
2
+
−⋅+
⋅=−⋅− . Таким образом,
φ (x) =
∑
∞
=
+
−⋅+
1
1
2
π
sin
)1(31
π
2
n
n
xn
n
.
ряд одновременно разложен ] функция f (x) = x + 1.
Замечание:
В этот а заданная на [0, 2
Можно также раз резке [0, l], но тогда
в разложение войдут члены ряда и с синусами, и с косинусами, а сумма
ряда будет периодич ункцией с периодом T = l.
ложить f (x) и на от
еской ф 
                                             28




                                     Рис. 8
      В результате получим нечётную функцию φ (x); для x < 0 будет φ (x)
                                                       ⎧ x − 1, − 2 ≤ x < 0,
= – φ (–x) = – f (–x) = x – 1, следовательно, φ (x) = ⎨                      Эта
                                                       ⎩ x + 1, 0 ≤ x ≤ 2.
функция непрерывна на [–2, 2] за исключением точки x = 0, в которой она
имеет разрыв первого рода, т. е. удовлетворяет условиям Дирихле:
                                      ∞
                                                 nπx
                             φ (x) =
                                     n =1
                                           ∑
                                          bn sin
                                                  2
                                                     ,

           2                       ⎧u = x + 1, du = dx,             ⎫
         2                nπx      ⎪                                ⎪
где bn =
         2
           0
            ∫( x + 1) sin
                           2
                              dx = ⎨         nπx           2    nπx ⎬ =
                                   ⎪⎩dv = sin 2 dx, v = − nπ cos 2 ⎪⎭
                          2        2                                                   2
              2     nπx          2       nπx       2
− ( x + 1) ⋅    cos           +    ∫ cos     dx =    [− 3 cos nπ + 1] + 24 2 sin nπx
             nπ      2    0     nπ        2       nπ                   n π        2    0
                                   0

=
   2
  nπ
     [           n
                   ]
                   2 1 + 3 ⋅ (−1) n +1
     1 − 3 ⋅ (−1) = ⋅
                   π         n
                                       . Таким образом,
                                ∞
                             2      1 + 3 ⋅ (−1) n +1     nπx
                     φ (x) =
                             π n =1    ∑    n
                                                      sin
                                                           2
                                                              .

В этот ряд одновременно разложена заданная на [0, 2] функция f (x) = x + 1.
      Замечание: Можно также разложить f (x) и на отрезке [0, l], но тогда
в разложение войдут члены ряда и с синусами, и с косинусами, а сумма
ряда будет периодической функцией с периодом T = l.

Страницы