Математика. Ряды. Любимов В.М - 23 стр.

                                              24

                                               Рис. 1
                         ∞
                   a                   nπx               nπx
         f ( x) = 0 + ∑ (a n cos            + bn sin          ) . Данная функция непрерывна
                    2 n =1              2                   2
на отрезке [–2, 2] и не имеет там экстремумов, следовательно,
удовлетворяет условиям Дирихле. Вычислим коэффициенты ряда:
                                 1⎡
                                     0            2        ⎤ 1 x2 2
                                     ∫
                                   ⎣− 2
                                             ∫
                         a 0 = ⎢ 0 ⋅ dx + x dx ⎥ = ⋅
                                 2⎢
                                                  0
                                                           ⎥
                                                           ⎦
                                                               2 2 0
                                                                       = 1;


        1⎡
            0
                      nπx
                                   2
                                              nπx         ⎤ ⎧⎪u = x, du = dx,                ⎫
                                                                                             ⎪
        2⎢∫
a n = ⎢ 0 ⋅ cos
                       2         ∫
                           ⋅ dx + x ⋅ cos
                                                2
                                                    ⋅ dx ⎥ = ⎨
                                                          ⎥⎦ ⎪dv = cos
                                                                        nπx
                                                                             ,v=
                                                                                   2
                                                                                     sin
                                                                                         nπx ⎬ =
          ⎣− 2                     0                          ⎩          2        nπ      2 ⎪⎭
   1 ⎛⎜                                                ⎞ 1 22
                         2     2                                                2
            2        nπx          2        nπx         ⎟                   nπx
=       x⋅
   2 ⎜ nπ
      ⎝
               ⋅ sin
                      2 0    ∫
                             −
                               0
                                 nπ
                                     ⋅ sin
                                             2
                                                 ⋅ dx = ⋅ 2 2 ⋅ cos
                                                       ⎟ 2 n π
                                                       ⎠
                                                                            2 0
                                                                                  =

                            ⎧0, n = 2k − чётное (k = 1, 2, ...),
      2                     ⎪
= 2 2 (cos nπ − 1) = ⎨             4                 4
   n π                        −          = −                    , n = 2k − 1 − нечётное;
                            ⎪ n2π2           ( 2 k  − 1 ) 2 2
                                                            π
                            ⎩


    1⎡
       0
               nπx
                         2
                                  nπx      ⎤ ⎧⎪u = x, du = dx,              ⎫
                                                                            ⎪
    2⎢    ∫
bn = ⎢ 0 ⋅ sin
                2
                   ⋅ dx + x ⋅ sin∫ 2
                                      ⋅ dx ⎥ = ⎨
                                           ⎥⎦ ⎪dv = sin
                                                        nπx         2
                                                            , v = − cos
                                                                        nπx ⎬
     ⎣− 2                0                     ⎩         2         nπ    2 ⎪⎭
  1 ⎛⎜                                                 ⎞
                             2   2
               2        nπx         2        nπx
=      − x⋅       ⋅ cos        + ∫     ⋅ cos      ⋅ dx ⎟ =
  2⎜          nπ         2 0       nπ         2        ⎟
     ⎝                           0                     ⎠
  1 ⎛⎜ − 2 2                           nπx ⎞⎟ 2
                                            2
                              22                             n +1
= ⋅⎜            ⋅ cos nπ + 2 2 sin              =      ( −1)      .
  2 ⎜ nπ                    n π          2 0 ⎟⎟ nπ
       ⎝                                      ⎠
         Таким образом, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
                    1 ∞          4             (2k − 1) πx ∞ 2                          nπx
          f ( x) = − ∑                    cos                +  ∑        ( −1) n +1
                                                                                    sin     .
                    2 k =1 (2k − 1) 2 π 2           2           n =1 n π                 2
         В соответствии с теоремой Дирихле, график суммы ряда Фурье для
функции f (x) имеет вид




                                 Рис. 2
       4. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций.