Математика. Ряды. Любимов В.М - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18
0
2
1
e
e
2
→=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
n
n
n
n
n
n
n
π
π
.
По теореме Лейбница, ряд на левом конце интервала сходится.
2) На правом конце интервала ряд принимает вид
∑
∞
=
⋅
1
e!
n
n
n
n
n
;
2/1
2
1
e
e
2
~
e! n
n
n
n
n
n
a
n
n
n
n
n
n
⋅
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=
π
π
.
Это – ряд Дирихле при
2
1
=p , поэтому данный ряд на правом конце своего
интервала сходимости расходится.
Таким образом, область сходимости ряда есть промежуток
⎟
⎠
⎞
⎢
⎣
⎡
−
e
1
;
e
1
.
§3. Ряд Тейлора.
Пусть функция f (x) имеет на некотором отрезке непрерывные
производные до (n + 1)-го порядка включительно, а точка a находится
внутри этого отрезка. Тогда для любого x из этого отрезка имеет место
формула Тейлора:
)()(
!
)(
...)(
!1
)('
)()(
)(
xRax
n
af
ax
af
afxf
n
n
n
+−++−+= , (1)
где остаточный член )
может быть записан в виде
(xR
n
1
)1(
)(
!)1(
)ξ(
)(
+
+
−
+
=
n
n
n
ax
n
f
xR (2)
(форма Лагранжа), причём ξ лежит между a и x.
Очевидно, число ξ можно записать также в виде a + θ (x – a), где
0 < θ < 1.
В случае a = 0 формула Тейлора принимает вид:
)(
!
)0(
...
!1
)0('
)0()(
)(
xRx
n
f
x
f
fxf
n
n
n
++++= , (3)
где
)1θ0(
!)1(
)θ(
)(
1
)1(
<<
+
⋅
=
+
+
n
n
n
x
n
xf
xR . (4)
Формула (3) носит название формулы Маклорена.
Если функция f (x) имеет производные всех порядков на некотором
отрезке, содержащем внутри себя точку a, и выполняется условие 
                                                 18

                                        nn                1
                                                      =           → 0.
                             ⎛n⎞
                                             n
                                                          2π n
                      2π n ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ e n
                             ⎝e⎠
По теореме Лейбница, ряд на левом конце интервала сходится.
                                                      ∞
                                                           nn
     2) На правом конце интервала ряд принимает вид
                                                     n =1 n !⋅e n
                                                                  ;         ∑
                           nn                    nn                   1
                   an =             ~                         =                  .
                          n !⋅e n               ⎛n⎞
                                                      n
                                                                   2π ⋅ n1 / 2
                                         2π n ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ e n
                                                ⎝e⎠
                          1
Это – ряд Дирихле при p =   , поэтому данный ряд на правом конце своего
                          2
интервала сходимости расходится.
       Таким образом, область сходимости ряда есть промежуток
⎡ 1 1⎞
⎢⎣− e ; e ⎟⎠ .

                                        §3. Ряд Тейлора.

      Пусть функция f (x) имеет на некотором отрезке непрерывные
производные до (n + 1)-го порядка включительно, а точка a находится
внутри этого отрезка. Тогда для любого x из этого отрезка имеет место
формула Тейлора:
                          f ' (a)                   f ( n) (a)
        f ( x) = f (a ) +         ( x − a ) + ... +            ( x − a ) n + Rn ( x) , (1)
                            1!                          n!
где остаточный член R n (x) может быть записан в виде
                                             f ( n +1) (ξ )
                              R n ( x) =                    ( x − a) n +1          (2)
                                              (n + 1) !
(форма Лагранжа), причём ξ лежит между a и x.
      Очевидно, число ξ можно записать также в виде a + θ (x – a), где
0 < θ < 1.
       В случае a = 0 формула Тейлора принимает вид:
                                 f ' ( 0)                f ( n ) ( 0) n
             f ( x ) = f ( 0) +            x + ... +                 x + Rn ( x) , (3)
                                   1!                        n!
где
                                  f ( n +1) (θ ⋅ x) n +1
                      Rn ( x) =                        x          (0 < θ < 1) .    (4)
                                     (n + 1) !
Формула (3) носит название формулы Маклорена.
       Если функция f (x) имеет производные всех порядков на некотором
отрезке, содержащем внутри себя точку a, и выполняется условие

Страницы