Математика. Ряды. Любимов В.М - 15 стр.

                                                        16

     В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1)
можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов,
считая x фиксированным.

                                          §2. Степенные ряды.

      Степенным рядом называется функциональный ряд вида
       ∞                  ∞

      ∑0 u
       n=
             n ( x)   =   ∑0 a
                          n=
                                 n   ⋅ ( x − a ) n = a 0 + a1 ( x − a ) + ... + a n ( x − a ) n + ... , (1)

где a n (n = 0, 1, 2, …) – числа, называемые коэффициентами ряда. При
a = 0 ряд принимает вид
                           ∞

                          ∑0 a
                           n=
                                     n   ⋅ x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n + ...            (2)

      Теорема Абеля.
      1) Если ряд (2) сходится при x = x 0 ≠ 0 , то он абсолютно сходится
при любом значении x, удовлетворяющем неравенству x < x 0 .
      2) Если ряд (2) расходится при x = x1 , то он расходится и при
любом значении x, для которого x > x1 .
      Область сходимости степенного ряда (2) есть симметричный
относительно начала координат O интервал (–R, R), называемый
интервалом сходимости ряда (2). Число R (0 ≤ R < + ∞) называется
радиусом сходимости ряда (2).
      Радиус сходимости может быть вычислен по формулам
                                               a
                                  R = lim n                            (3)
                                        n →∞ a n +1

или
                                                 1
                                  R = lim             .                (4)
                                       n →∞ n a
                                                   n
      Степенной ряд (2) внутри интервала сходимости сходится
абсолютно. Вне интервала сходимости ряд (2) расходится. При x = –R или
x = R ряд (2) может оказаться расходящимся, сходящимся условно или
сходящимся абсолютно.
      Степенной ряд (1) сходится абсолютно на интервале
                                  (a – R, a + R ).
      На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости,
сумма степенного ряда есть непрерывная функция.
      Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала
сходимости степенного ряда, то определённый интеграл от суммы ряда в
этих пределах равен сумме таких же интегралов от членов ряда. Интервал
сходимости нового ряда остаётся прежним.
      Пусть
                   S ( x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n + ...