Математика. Ряды. Любимов В.М - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

13
и для этого ряда выполнены условия 1) и 2) теоремы Лейбница, то и такой
ряд сходится, сумма его S отрицательна и удовлетворяет неравенству
0
1
<
<
−
Sa
.
При замене суммы S ряда, удовлетворяющего
признаку Лейбница, суммой n его первых членов (
)
абсолютная величина ошибки
n
S
n
r не превышает
абсолютного значения первого из отброшенных
членов:
1+
≤
nn
ar .
Знак ошибки (знак
) совпадает со знаком первого из
отброшенных членов. Здесь
n
r
nn
SSr
−
=
(см. §1).
Пример 1. Ряд
∑
∞
=
+
+
+⋅−+−+−=
−
1
1
1
...
1
)1(...
3
1
2
1
1
)1(
n
n
n
nn
,
называемый рядом Лейбница, сходится по признаку Лейбница. В то же
время ряд, составленный из абсолютных величин его членов
∑
∞
=
+++++=
1
...
1
...
3
1
2
1
1
1
n
nn
расходится (гармонический ряд). Таким образом, ряд Лейбница – условно
(неабсолютно) сходящийся ряд.
Пример 2. Ряд
(
)
)0(
1
1
1
>
−
∑
∞
=
+
p
n
n
p
n
(4)
является знакочередующимся. При p > 0 он удовлетворяет условиям
признака Лейбница:
1)
()
...),3,2,1(
1
1
1
=<
+
n
n
n
pp
2)
0
1
lim =
∞→
p
n
n
и, следовательно, сходится.
Если заменить все члены их абсолютными величинами, получим ряд
Дирихле:
∑
∞
=1
1
n
p
n
,
который сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1 (см. §2). Таким
образом, ряд (4) при p > 1 сходится абсолютно, а при 0 < p ≤ 1 сходится
условно. 
                                           13

и для этого ряда выполнены условия 1) и 2) теоремы Лейбница, то и такой
ряд сходится, сумма его S отрицательна и удовлетворяет неравенству
                               − a1 < S < 0 .




             При замене суммы S ряда, удовлетворяющего
            признаку Лейбница, суммой n его первых членов ( S n )
            абсолютная величина ошибки rn не превышает
            абсолютного значения первого из отброшенных
            членов:
                                  rn ≤ a n +1 .
            Знак ошибки (знак rn ) совпадает со знаком первого из
            отброшенных членов. Здесь rn = S − S n (см. §1).
                                       ∞
                                           (−1) n +1      1 1                   1
      Пример        1.   Ряд          ∑
                                      n =1
                                               n
                                                     = 1 − + − ... + (−1) n +1 ⋅ + ... ,
                                                          2 3                   n
называемый рядом Лейбница, сходится по признаку Лейбница. В то же
время ряд, составленный из абсолютных величин его членов
                         ∞
                              1         1 1            1
                        n =1
                            ∑ n
                                = 1 + + + ... + + ...
                                        2 3            n
расходится (гармонический ряд). Таким образом, ряд Лейбница – условно
(неабсолютно) сходящийся ряд.
                            ∞
                                (− 1)n +1
        Пример 2. Ряд        ∑
                           n =1   n p
                                             ( p > 0)

                                                                                   (4)
является знакочередующимся. При p > 0 он удовлетворяет условиям
признака Лейбница:
             1       1
      1)          <    (n = 1, 2, 3, ...)
         (n + 1) p n p
               1
      2) lim p = 0
         n →∞ n
и, следовательно, сходится.
      Если заменить все члены их абсолютными величинами, получим ряд
Дирихле:
                                         ∞
                                             1
                                       ∑
                                       n =1 n
                                              p
                                                 ,

который сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1 (см. §2). Таким
образом, ряд (4) при p > 1 сходится абсолютно, а при 0 < p ≤ 1 сходится
условно.

Страницы