Математика. Ряды. Любимов В.М - 9 стр.

                                        10
                                 ∞
                                         2n
                                ∑ n⋅3
                                 n =1
                                              n
                                                  .

                                                                            ∞       n
                                                                 ⎛2⎞
      Данный ряд знакоположительный. Сравним его с рядом         ⎜ ⎟ ,
                                                            n =1 ⎝ ⎠
                                                                  3         ∑
который является сходящейся геометрической прогрессией с
                                   2
                                q = < 1.
                                   3
По первому признаку сравнения сравним соответствующие члены двух
рядов:
                         2n     2n
                              ≤      (n = 1, 2, ...) .
                        n ⋅ 3n 3n
Так как члены данного ряда меньше соответствующих членов сходящегося
      ∞     n
          ⎛2⎞
ряда ∑    ⎜ ⎟ , то данный ряд сходится.
     n =1 ⎝ ⎠
           3
      Пример 3. Выяснить, сходится или расходится ряд
                                      ∞
                                              1
                                 ∑   n =1
                                          sin .
                                              n
      Данный ряд является знакоположительным. Применим второй
                                                                    ∞
                                                                        1
признак сравнения, для сравнения возьмём гармонический ряд
                                                                   n =1
                                                                        n
                                                                          ,     ∑
который является расходящимся. Найдём
                                    1
                                sin        1
                       an           n         =α        sin α
                 lim      = lim        = n        = lim       = 1.
                 n → ∞ bn   n →∞ 1                  α →0 α
                                           α →0
                                  n
По второму признаку сравнения данный ряд и гармонический ведут себя
одинаково, т. е. из расходимости гармонического следует, что и данный
ряд расходится.
      Пример 4. Исследовать, сходится или расходится ряд
                                      ∞
                                            1
                                 ∑   n =1 n   n
                                                .

                                              ∞
                                                      1
     Данный ряд перепишем в виде             ∑n
                                              n =1
                                                      3/ 2
                                                             . Это – ряд Дирихле при

    3
p=    . Так как p > 1, то данный ряд сходится.
    2
      Пример 5. С помощью интегрального признака доказать сходимость
ряда
                                   ∞
                                           1
                                ∑ n =1 n 2
                                            + 1
                                                .