Анализ периодических компонент интенсивности точечных процессов. Любушин А.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10
модель интенсивности по сравнению с чисто случайной моделью. Максимальные значения
функции (36) выделяют частоты, присутствующие в потоке событий.
Следующим очевидным обобщением метода является вычисление функции (36),
используя наблюденные моменты времени не на всем интервале , но внутри
скользящего временного окна заданной длины . Пусть
(0, ]T
L
τ
– время правого конца
скользящего временного окна. Тогда выражение (36) становится функцией от 2-х
аргументов:
( , | )
R
L
ω
τ
, которая может быть визуализирована в виде 2-мерных карт или 3-
мерных рельефов на плоскости аргументов
(,)
ω
τ
. Эта частотно-временная диаграмма
позволяет исследовать динамику возникновения и развития периодических компонент
внутри исследуемого потока событий.
Важным вопросом применения этого метода к реальным данным является выяснение
статистической значимости полученных пиковых значений статистик ()
R
ω
или (,|)
R
L
ω
τ
.
Для его решения можно применить два подхода. Первый состоит в применении
классической асимптотической теории Уилкса [3]. Пусть для одного и того же набора
данных
()N
X
, состоящего из независимых наблюдений, рассматриваются 2 гипотезы: N
1) гипотеза :
0
H
()N
X
распределена в соответствии с плотностью
()
00
(|
N
pX )
θ
;
2) гипотеза :
1
H
()N
X
распределена в соответствии с плотностью
()
11
(|
N
pX )
.
где
0
θ
и
1
θ
- векторы неизвестных параметров, имеющих размерности и , причем
гипотеза является более «богатой»: , а вектор параметров
0
m
1
m
1
H
1
>mm
0 1
θ
полностью включает
в себя компоненты вектора
0
θ
. Рассмотрим разницу между логарифмами правдоподобий для
этих двух гипотез, при условии, что для векторов параметров взяты их оценки метода
максимального правдоподобия:
(
)
(
)
10
() () ()
11 0
ln ( ) ln max ( | ) ln max ( | )Δ= −
NN
LX p X p X
θθ
0
N
θ
θ
(37)
Очевидно, что . Согласно теореме Уилкса, при условии справедливости
гипотезы величина (37) имеет асимптотическое распределение:
()
ln ( ) 0Δ
N
LX ≥
0
H
2
()
10
ln ( ) , ,
2
Δ=−∼
N
m
LX m m m N
χ
→∞ (38) 
                                                            10
модель интенсивности по сравнению с чисто случайной моделью. Максимальные значения
функции (36) выделяют частоты, присутствующие в потоке событий.
   Следующим очевидным обобщением метода является вычисление функции (36),
используя наблюденные моменты времени не на всем интервале (0, T ] , но внутри
скользящего временного окна заданной длины L . Пусть τ                                – время правого конца
скользящего временного окна. Тогда выражение (36) становится функцией от 2-х
аргументов: R(ω ,τ | L) , которая может быть визуализирована в виде 2-мерных карт или 3-
мерных рельефов на плоскости аргументов (ω ,τ ) . Эта частотно-временная диаграмма
позволяет исследовать динамику возникновения и развития периодических компонент
внутри исследуемого потока событий.
   Важным вопросом применения этого метода к реальным данным является выяснение
статистической значимости полученных пиковых значений статистик R(ω ) или R(ω ,τ | L) .
Для его решения можно применить два подхода. Первый состоит в применении
классической асимптотической теории Уилкса [3]. Пусть для одного и того же набора
данных X ( N ) , состоящего из N независимых наблюдений, рассматриваются 2 гипотезы:
   1) гипотеза H 0 : X ( N ) распределена в соответствии с плотностью p0 ( X ( N ) | θ 0 ) ;

   2) гипотеза H1 : X ( N ) распределена в соответствии с плотностью p1 ( X ( N ) | θ1 ) .

где θ 0 и θ1 - векторы неизвестных параметров, имеющих размерности m0 и m1 , причем

гипотеза H1 является более «богатой»: m1 > m0 , а вектор параметров θ1 полностью включает

в себя компоненты вектора θ 0 . Рассмотрим разницу между логарифмами правдоподобий для
этих двух гипотез, при условии, что для векторов параметров взяты их оценки метода
максимального правдоподобия:



                                               (                         ) (
                         Δ ln L( X ( N ) ) = ln max p1 ( X ( N ) | θ1 ) − ln max p0 ( X ( N ) | θ 0 )
                                                     θ1                         θ0                      )   (37)



Очевидно, что Δ ln L( X ( N ) ) ≥ 0 . Согласно теореме Уилкса, при условии справедливости
гипотезы H 0 величина (37) имеет асимптотическое распределение:


                                                          χ m2
                                 Δ ln L( X   (N )
                                                    )∼           , m = m1 − m0 , N → ∞                      (38)
                                                           2

Страницы