Анализ периодических компонент интенсивности точечных процессов. Любушин А.А. - 8 стр.

                                                     8


                                                N                   ⎛ tj            ⎞
                               p (t1 ,..., t N ) = ∏ λ (t j ) ⋅ exp ⎜ − ∫ λ (u ) du ⎟, t0 = 0                 (28)
                                                                    ⎜ t             ⎟
                                                   j =1
                                                                    ⎝ j−1           ⎠


   Эта формула является, по сути, функцией правдоподобия для оценки параметров модели
интенсивности точечных процессов. Пусть имеется некоторая функция для интенсивности,
известная с точностью до вектора параметров θ : λ = λ (t | θ ) и последовательность моментов
времени (t1 ,..., t N ) , наблюденных на интервале (0, T ] . Тогда, согласно методу максимума

правдоподобия, вектор θ может быть оценен путем максимизации выражения (28),
рассматриваемого    как   функции         от     θ.        Удобнее      рассматривать               его   логарифм
(логарифмическая функция правдоподобия):


                                                    N                   T
                          ln( L(θ | t1 ,..., t N )) = ∑ ln(λ (t j | θ )) − ∫ λ (u | θ ) du → max              (29)
                                                                                                θ
                                                    j =1                0




   Например, для пуассоновского процесса с постоянной интенсивностью λ (t | θ ) = μ и в
качестве вектора параметров θ следует рассматривать само значение интенсивности. Тогда
(29) имеет вид:


                              ln L = N ln( μ ) − μ ⋅ T → max, ⇒ μ = μˆ 0 = N / T                              (30)
                                                               μ




   4. Выделение периодических компонент интенсивности точечных процессов с помощью
оценки приращения логарифмической функции правдоподобия.
   Метод был предложен в работе [2]. Пусть ti , i = 1,..., N – времена последовательности

событий, наблюдаемых на интервале (0, T ] . Рассмотрим следующую модель интенсивности,
содержащую периодическую компоненту:


                                           λ (t ) = μ ⋅ (1 + a cos(ωt + ϕ ))                                  (31)


где частота ω , амплитуда a, 0 ≤ a ≤1 , фазовый угол ϕ , ϕ ∈ [0, 2π ]                    и множитель μ > 0
(описывающий пуассоновскую часть интенсивности) являются параметрами модели. Таким
образом, пуассоновская часть интенсивности модулируется гармоническим колебанием.