Анализ периодических компонент интенсивности точечных процессов. Любушин А.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

7
распределения длин интервалов между событиями, то интеграл от нее,
Δt
1
−
−
t
e
μ
равен
функции распределения этих величин:
Pr{ } 1
−
Δ< =−
t
tt e
μ
(23)
3. Рассмотрим случай, когда интенсивность ()t
λ
в формулах (2) не является постоянной
и может меняться со временем. Обозначим через
(, )
Ψ
ts вероятность того, что на интервале
не произойдет ни одного события. Тогда вероятность того, что на интервале (
(, ]ts , ]
+
ts
ε
по
прежнему не будет ни одного события, в силу независимости моментов времени событий,
равна произведению вероятности на вероятность, что на
(, )
Ψ ts (, ]
+
ss
не будет ни одного
события. Используя условие (2), получаем:
(, ) (, ) (1 () ( ))
Ψ+=Ψ ⋅− ⋅+ts ts s o
ε
λε ε
(24)
или:
(, )
() (,)
∂
Ψ
=− ⋅Ψ
∂
ts
sts
s
λ
(25)
Поскольку , то из (25) получаем: (,) 1
Ψ=tt
(, ) exp ( )
⎛⎞
Ψ= −
⎜
⎝⎠
∫
s
t
ts udu
λ
⎟
(26)
Отсюда следует, что функция распределения длин интервалов между событиями для
нестационарного пуассоновского процесса равна
1 (,)
−
Ψ ts, а плотность вероятности
распределения длин интервалов
()
(, ) 1 (, ) ( ) exp ( )
⎛⎞
∂
=−Ψ =⋅−
⎜
∂
⎝⎠
∫
s
t
ts ts s udu
s
ϕλ
⎟
λ
N
(27)
Поэтому плотность вероятности того, что события произойдут в моменты времени
равна, в силу независимости распределения длин интервалов между
событиями, произведению:
0, 1,...,
>=
j
tj
                                                          7
распределения длин интервалов Δ t между событиями, то интеграл от нее, 1 − e − μt равен
функции распределения этих величин:


                                                Pr{Δ t < t} = 1 − e − μt                              (23)


   3. Рассмотрим случай, когда интенсивность λ (t ) в формулах (2) не является постоянной
и может меняться со временем. Обозначим через Ψ (t , s ) вероятность того, что на интервале
(t , s ] не произойдет ни одного события. Тогда вероятность того, что на интервале (t , s + ε ] по
прежнему не будет ни одного события, в силу независимости моментов времени событий,
равна произведению вероятности Ψ (t , s ) на вероятность, что на ( s, s + ε ] не будет ни одного
события. Используя условие (2), получаем:


                                   Ψ (t , s + ε ) = Ψ (t , s) ⋅ (1 − λ ( s) ⋅ ε + o(ε ))              (24)
или:


                                            ∂Ψ (t , s )
                                                        = −λ ( s ) ⋅ Ψ (t , s )                       (25)
                                              ∂s


   Поскольку Ψ (t , t ) = 1 , то из (25) получаем:


                                                          ⎛ s            ⎞
                                         Ψ (t , s ) = exp ⎜ − ∫ λ (u )du ⎟                            (26)
                                                          ⎝ t            ⎠


   Отсюда следует, что функция распределения длин интервалов между событиями для
нестационарного пуассоновского процесса равна 1 − Ψ (t , s ) , а плотность вероятности
распределения длин интервалов


                                                ∂                                  ⎛ s            ⎞
                                 ϕ (t , s ) =      (1 − Ψ (t , s) ) = λ ( s) ⋅ exp ⎜ − ∫ λ (u )du ⎟   (27)
                                                ∂s                                 ⎝ t            ⎠


   Поэтому плотность вероятности того, что события произойдут в моменты времени
t j > 0, j = 1,..., N равна, в силу независимости распределения длин интервалов между

событиями, произведению:

Страницы