Анализ периодических компонент интенсивности точечных процессов. Любушин А.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

9
Зафиксируем какое-то значение частоты
ω
. Логарифмическая функция правдоподобия
(29) в этом случае для серии наблюденных событий равна:
0
ln ( , , | ) ln( ( )) ( )
ln( ) ln(1 cos( )) [sin( ) sin( )]
=−=
=++ +−− +−
∑
∫
∑
i
i
T
i
t
i
t
La t udu
a
NatTT
μϕω λ λ
μ
μ
ωϕ μ ωϕ ϕ
ω
(32)
Взяв максимум выражения (32) по отношению к параметру
μ
нетрудно найти что:
ˆ
(, | )
(sin( ) sin( ))/
==
++−
N
a
Ta T
μμ ϕω
ω
ϕϕω
(33)
Подставляя (33) в формулу (32) получаем
ˆˆ
ln( ( , , | )) ln(1 cos( )) ln( ( , | ))=+ ++⋅ −
∑
i
i
t
La a t N a N
μϕω ω ϕ μϕω
(34)
Следует заметить, что выражение
0
ˆˆ
(0,|) /
=
≡=aNT
μ
ϕω μ
является оценкой (30)
интенсивности процесса при условии, что он является однородным пуассоновским (чисто
случайным).
Таким образом, приращение логарифмической функции правдоподобия вследствие
рассмотрения более богатой, чем для чисто случайного потока событий, модели
интенсивности с гармонической компонентой с заданной частотой
ω
равно:
0
ˆ
ln ( , | ) ln(1 cos( )) ln( ( , | ) / )Δ=+++⋅
∑
i
i
t
La a t N a
ˆ
ϕ
ωωϕμϕωμ
(35)
Пусть
,
() max ln(, | ),0 1, [0,2]=Δ ≤≤∈
a
RLaa
ϕ
ω
π
(36)
Функция (36) может рассматриваться как обобщение спектра для последовательности
событий. График этой функции показывает насколько «более выгодна» периодическая 
                                                                 9
   Зафиксируем какое-то значение частоты ω . Логарифмическая функция правдоподобия
(29) в этом случае для серии наблюденных событий равна:


                                                             T
               ln L( μ , a, ϕ | ω ) = ∑ ln(λ (ti )) − ∫ λ (u )du =
                                       ti                    0
                                                                                                             (32)
                                                              μa
               = N ln( μ ) + ∑ ln(1 + a cos(ωti + ϕ )) − μT −    [sin(ωT + ϕ ) − sin(ϕ )]
                             t i
                                                              ω


Взяв максимум выражения (32) по отношению к параметру μ нетрудно найти что:


                                                                      N
                            μ = μˆ (a, ϕ | ω ) =                                                             (33)
                                                         T + a(sin(ωT + ϕ ) − sin(ϕ )) / ω


Подставляя (33) в формулу (32) получаем




                   ln( L( μˆ , a, ϕ | ω )) = ∑ ln(1 + a cos(ωti + ϕ )) + N ⋅ ln( μˆ (a, ϕ | ω )) − N         (34)
                                                 ti




Следует заметить, что выражение                         μˆ (a = 0, ϕ | ω ) ≡ μˆ 0 = N / T   является оценкой (30)
интенсивности процесса при условии, что он является однородным пуассоновским (чисто
случайным).
   Таким образом, приращение логарифмической функции правдоподобия вследствие
рассмотрения более богатой, чем для чисто случайного потока событий, модели
интенсивности с гармонической компонентой с заданной частотой ω равно:


                    Δ ln L(a, ϕ | ω ) = ∑ ln(1 + a cos(ωti + ϕ )) + N ⋅ ln( μˆ (a, ϕ | ω ) / μˆ 0 )          (35)
                                            ti


   Пусть


                                   R (ω ) = max Δ ln L(a, ϕ | ω ), 0 ≤ a ≤1, ϕ ∈ [0, 2π ]                    (36)
                                                 a ,ϕ




   Функция (36) может рассматриваться как обобщение спектра для последовательности
событий. График этой функции показывает насколько «более выгодна» периодическая

Страницы