Анализ периодических компонент интенсивности точечных процессов. Любушин А.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5
в силу начального условия . Подставляя (11) в (9) получим
формулу для искомой вероятности, которая годится и для
0
0
0
(0, ) (0) (0) 1
∞
=
=⋅=⋅
∑
k
k
k
fz P z P z=
0
=
k :
()
() Pr{ () } , 0
!
−
===
tk
k
et
Pt Nt k k
k
μ
μ
≥ (12)
так как
0! . Нетрудно получить среднее значение случайной величины : 1= ()Nt
0
1
(, )
{()} ()
∞
=
=
=⋅ = =
∑
k
k
z
df t z
M
Nt k Pt t
dz
μ
(13)
Таким образом, интенсивность
μ
пуассоновского процесса есть ничто иное, как скорость
роста среднего числа событий с увеличением длительности интервала наблюдения. Для
вычисления дисперсии () используем формулу:
Nt
22 22
{ ( )} {( ( ) { ( )}) } { ( )} ( { ( )}) { ( )} ( )=− =− =−DNt MNt MNt MNt MNt MNt t
2
μ
(14)
Вычислим
2
{()}
M
Nt :
2
22 2
2
0
1
1
(, ) (, )
{()} () () ()
∞
=
=
=
== +=+
∑
k
k
z
z
d ftz dftz
M
Nt kPt t t
dz dz
μ
μ
(15)
откуда, с учетом (14):
{()}
DNt t
μ
(16)
Итак, дисперсия пуассоновского процесса растет линейно со временем с той же
скоростью, что его математическое ожидание, равной интенсивности. Отсюда, в частности,
следует полезный факт, вытекающий из независимости возникновения событий и
центральной предельной теоремы [1], что плотность распределения случайной величины:
() { ()} ()
()
{()}
−
−
==
Nt MNt Nt t
t
DNt t
μ
η
μ
(17)
при стремится к стандартному нормальному распределению: →∞t
                                                              5
                                                 ∞
в силу начального условия f (0, z ) = ∑ Pk (0) ⋅ z k = P0 (0) ⋅ z 0 = 1 . Подставляя (11) в (9) получим
                                                k =0

формулу для искомой вероятности, которая годится и для k = 0 :


                                                             e − μt ( μ t ) k
                                 Pk (t ) = Pr {N (t ) = k} =                  , k ≥0                                       (12)
                                                                    k!


так как 0! = 1 . Нетрудно получить среднее значение случайной величины N (t ) :


                                           ∞
                                                               df (t , z )
                            M {N (t )} = ∑ k ⋅ Pk (t ) =                   = μt                                            (13)
                                          k =0                    dz z =1


Таким образом, интенсивность μ пуассоновского процесса есть ничто иное, как скорость
роста среднего числа событий с увеличением длительности интервала наблюдения. Для
вычисления дисперсии N (t ) используем формулу:


           D{N (t )} = M {( N (t ) − M {N (t )})2 } = M {N 2 (t )} − ( M {N (t )})2 = M {N 2 (t )} − ( μ t )2              (14)


Вычислим M {N 2 (t )} :
                                          ∞
                                                              d 2 f (t , z )        df (t , z )
                          M {N 2 (t )} = ∑ k 2 Pk (t ) =             2
                                                                                  +                  = (μ t )2 + ( μ t )   (15)
                                         k =0                     dz         z =1
                                                                                       dz       z =1


откуда, с учетом (14):


                                                               D{N (t )} = μ t                                             (16)


    Итак, дисперсия пуассоновского процесса растет линейно со временем с той же
скоростью, что его математическое ожидание, равной интенсивности. Отсюда, в частности,
следует полезный факт, вытекающий из независимости возникновения событий и
центральной предельной теоремы [1], что плотность распределения случайной величины:


                                                     N (t ) − M {N (t )} N (t ) − μ t
                                      η (t ) =                          =                                                  (17)
                                                           D{N (t )}           μt


при t → ∞ стремится к стандартному нормальному распределению:

Страницы