Анализ периодических компонент интенсивности точечных процессов. Любушин А.А. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4
Что же касается вероятности , то для нее
0
() Pr{ () 0}=Pt Nt=
)
0 0
()Pr{()0}Pr{()()0}()(1 ()+= =⋅ +− == ⋅− +Pt Nt Nt Nt Pt o
ε
εμεε
(6)
откуда сразу следует, что
0
00
()
(), ()
−
=− ⋅ =
t
dP t
Pt Pt e
dt
μ
μ
(7)
поскольку очевидно, что (за «нулевой» промежуток времени от начала наблюдений
не произойдет ни одного события). Рассмотрим производящую функцию
0
(0) 1=P
0
(, ) ()
∞
=
=
⋅
∑
k
k
k
f
tz Pt z (8)
от комплексного аргумента
z
, которая является аналитической при в силу условия
и нормировки . Если удастся найти явно функцию (8), то искомые
вероятности определяются дифференцированием:
||1<z
() 1<
k
Pt
0
() 1
∞
=
=
∑
k
k
Pt
0
1(,)
()
!
=
=⋅
k
k
k
Z
dftz
Pt
kdz
(9)
Имеем, учитывая (5) и (7):
01
01
()
(, )
() ( () ())
(,) (,) ( 1) (,)
∞∞
−
==
∂
=⋅=−− −⋅
∂
=− ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅
∑∑
kk
k
kk
kk
dP t
ftz
zPt PtPtz
tdt
ftz z ftz z ftz
μμ
μμ μ
=
(10)
откуда получаем:
(, ) exp( ( 1))
=
−
tz z t
μ
(11) 
                                                              4
Что же касается вероятности P0 (t ) = Pr {N (t ) = 0} , то для нее


                   P0 (t + ε ) = Pr {N (t ) = 0} ⋅ Pr {N (t + ε ) − N (t ) = 0} = P0 (t ) ⋅ (1 − με + o(ε ))    (6)


откуда сразу следует, что


                                               dP0 (t )
                                                        = − μ ⋅ P0 (t ), P0 (t ) = e− μt                        (7)
                                                 dt


поскольку очевидно, что P0 (0) = 1 (за «нулевой» промежуток времени от начала наблюдений
не произойдет ни одного события). Рассмотрим производящую функцию


                                                                   ∞
                                                   f (t , z ) = ∑ Pk (t ) ⋅ z k                                 (8)
                                                                  k =0




от комплексного аргумента z , которая является аналитической при | z |< 1 в силу условия
                              ∞
Pk (t ) < 1 и нормировки     ∑ P (t ) = 1 .
                             k =0
                                    k            Если удастся найти явно функцию (8), то искомые

вероятности определяются дифференцированием:


                                                              1 d k f (t , z )
                                                  Pk (t ) =      ⋅                                              (9)
                                                              k!    dz k       Z =0




Имеем, учитывая (5) и (7):


                       ∂f (t , z ) ∞ dPk (t ) k                               ∞
                                  =∑              ⋅ z = − μ P0 (t ) − μ ∑ ( Pk (t ) − Pk −1 (t )) ⋅ z k =
                          ∂t         k =0   dt                               k =1                              (10)
                       = − μ ⋅ f (t , z ) + μ z ⋅ f (t , z ) = μ ⋅ ( z − 1) ⋅ f (t , z )


откуда получаем:
                                        f (t , z ) = exp ( μ ( z − 1)t )                                       (11)

Страницы