Анализ периодических компонент интенсивности точечных процессов. Любушин А.А. - 2 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2
Введение. В пособии приводится основные сведения по теории точечных процессов и
рассматривается один метод обнаружения периодических компонент в интенсивности
потока событий. Метод реализован программно и может быть использован как в учебных,
так и в исследовательских целях. Приведены примеры анализа реальных геофизических
данных.
Всюду ниже будут использоваться обозначения: - вероятность события, условие
которого записано в фигурных скобках,
Pr {...}
{} ()=
∫
M
xxd
ξ
ξϕ
x - математическое ожидание или
среднее значение случайной величины
ξ
, где
()
x
ξ
ϕ
- плотность вероятности распределения
случайной величины
ξ
, - дисперсия случайной величины, которая
также может быть записана в виде
2
{} {( {})}=−DMM
ξξξ
22
{} { } ( {})=−DM M
ξ
ξξ
.
Про случайную величину
ξ
будем говорить, что она распределена по нормальному
закону с параметрами
a и
2
σ
и записывать это как
2
(, )∼ a
σ
, если плотность вероятности
случайной величины
ξ
равна
22
1
( ) exp( ( ) / 2 )
2
=−−xxa
ξ
ϕ
σ
σπ
. Известно, что в этом случае
{}
=
M
a
ξ
,
2
{}=D
ξ
σ
. Вообще, знак «∼» означает «распределено как».
1.
Точечным процессом называется последовательность случайных моментов времени
. Ее считающей функцией называется величина: , ∈
j
tjZ
1, 0
() ( ), ()
0, 0
<
≥
⎧
=− =
⎨
<
⎩
∑
j
j
tt
t
Nt rt t rt
t
(1)
Таким образом, − монотонно невозрастающая кусочно-постоянная функция,
скачкообразно растущая на 1 в случайные моменты времени . Если существует функция
()Nt
k
t
() 0≥t
λ
, такая что вероятности возникновения и отсутствия события на малом интервале
времени
(, ]+tt
ε
выражаются формулами:
Pr { ( ) ( ) 1} ( ) ( )
Pr { ( ) ( ) 0} 1 ( ) ( ), 0
+− == ⋅+
+− ==− ⋅+ →
Nt Nt t o
Nt Nt t o
ε
λε ε
ελεε
ε
(2)
то
()t
λ
называется интенсивностью точечного процесса. Напомним, что
() ()=⋅o
ε
ενε
, где
()
ν
ε
− произвольная величина, такая что () 0→
ν
ε
при 0→
ε
, причем, использование
одного и того же символа ()
o
ε
не означает, что соответствующие функции ()
ν
ε
будут 
                                                     2
    Введение. В пособии приводится основные сведения по теории точечных процессов и
рассматривается один метод обнаружения периодических компонент в интенсивности
потока событий. Метод реализован программно и может быть использован как в учебных,
так и в исследовательских целях. Приведены примеры анализа реальных геофизических
данных.
    Всюду ниже будут использоваться обозначения: Pr {...} - вероятность события, условие

которого записано в фигурных скобках, M {ξ } = ∫ xϕξ ( x)dx - математическое ожидание или

среднее значение случайной величины ξ , где ϕξ ( x) - плотность вероятности распределения

случайной величины ξ , D{ξ } = M {(ξ − M {ξ }) 2 } - дисперсия случайной величины, которая

также может быть записана в виде D{ξ } = M {ξ 2 } − ( M {ξ }) 2 .
    Про случайную величину ξ будем говорить, что она распределена по нормальному

закону с параметрами a и σ 2 и записывать это как ξ ∼ (a, σ 2 ) , если плотность вероятности
                                             1
случайной величины ξ равна ϕξ ( x) =            exp(−( x − a) 2 / 2σ 2 ) . Известно, что в этом случае
                                           σ 2π
M {ξ } = a , D{ξ } = σ 2 . Вообще, знак «∼» означает «распределено как».
    1. Точечным процессом называется последовательность случайных моментов времени
t j , j ∈ Z . Ее считающей функцией называется величина:


                                                                       ⎧1, t ≥ 0
                                     N (t ) = ∑ r (t − t j ), r (t ) = ⎨                           (1)
                                              t j

Страницы