ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
одинаковы. Интенсивность имеет смысл числа событий в единицу времени и размерность,
обратную к размерности времени. Кроме того, потребуем выполнение условия
ординарности процесса, то есть того, что вероятность возникновения 2-х и более событий на
малом интервале времени длиной
ε
есть величина ()o
ε
:
Pr { ( ) ( ) 2} ( ), 0
+
−≥= →Nt Nt o
ε
εε
(3)
2. Пуассоновский процесс есть точечный процесс с постоянной интенсивностью
() 0== >t const
λ
μ
(условие стационарности), удовлетворяющий условиям (2) и (3) и для
которого вероятность возникновения события на будущем интервале времени любой длины
(, ]+ h
τ
τ
не зависит от того, сколько и в какие моменты времени событий произошло в
прошлом, до момента времени
τ
(отсутствие последействия или памяти о прошлых
событиях). Из условий стационарности и независимости возникновения событий следует,
что любой момент времени наблюдения пуассоновского процесса можно считать начальным
или нулевым.
Выведем форуму для вероятности того, что на интервале времени произойдет ровно
событий, то есть для величины
(0, ]t
k () Pr{ () | 0}
=
=>
k
Pt Nt kk при условии, что
(0) 0
=
N
.
Вероятность ()
+
k
Pt
ε
того, что на интервале времени
(0, ]
+
t
ε
произошло ровно
событий состоит из суммы 2-х вероятностей: того что на интервале произошло
событий, а на интервале
1≥k
(0, ]t
k
(, ]+tt
ε
− ни одного и вероятности того, что на интервале
произошло событие, а на интервале
(0, ]t
1−k (, ]
+
tt
ε
− одно. При 0→
ε
всеми прочими
вариантами можно пренебречь в силу условия ординарности (3). В силу независимости
событий, стационарности процесса и из условия (2) получаем
1
( ) Pr { ( ) } Pr { ( ) ( ) 0}
Pr { ( ) 1} Pr { ( ) ( ) 1}
()(1 ()) ()( ())
−
+= =⋅ +− =+
+=−⋅+−==
=⋅−+ + ⋅+
k
kk
Pt Nt k Nt Nt
Nt k Nt Nt
Pt o P t o
ε
ε
ε
με ε με ε
(4)
откуда следует дифференциальное уравнение для ():
k
Pt
1
()
(() ()), (0)0, 1
−
=− ⋅ − = ≥
k
kk k
dP t
Pt P t P k
dt
μ
(5)
3
одинаковы. Интенсивность имеет смысл числа событий в единицу времени и размерность,
обратную к размерности времени. Кроме того, потребуем выполнение условия
ординарности процесса, то есть того, что вероятность возникновения 2-х и более событий на
малом интервале времени длиной ε есть величина o(ε ) :
Pr {N (t + ε ) − N (t ) ≥ 2} = o(ε ), ε → 0 (3)
2. Пуассоновский процесс есть точечный процесс с постоянной интенсивностью
λ (t ) = μ = const > 0 (условие стационарности), удовлетворяющий условиям (2) и (3) и для
которого вероятность возникновения события на будущем интервале времени любой длины
(τ ,τ + h] не зависит от того, сколько и в какие моменты времени событий произошло в
прошлом, до момента времени τ (отсутствие последействия или памяти о прошлых
событиях). Из условий стационарности и независимости возникновения событий следует,
что любой момент времени наблюдения пуассоновского процесса можно считать начальным
или нулевым.
Выведем форуму для вероятности того, что на интервале времени (0, t ] произойдет ровно
k событий, то есть для величины Pk (t ) = Pr {N (t ) = k | k > 0} при условии, что N (0) = 0 .
Вероятность Pk (t + ε ) того, что на интервале времени (0, t + ε ] произошло ровно k ≥ 1
событий состоит из суммы 2-х вероятностей: того что на интервале (0, t ] произошло k
событий, а на интервале (t , t + ε ] − ни одного и вероятности того, что на интервале (0, t ]
произошло k − 1 событие, а на интервале (t , t + ε ] − одно. При ε → 0 всеми прочими
вариантами можно пренебречь в силу условия ординарности (3). В силу независимости
событий, стационарности процесса и из условия (2) получаем
Pk (t + ε ) = Pr {N (t ) = k} ⋅ Pr {N (t + ε ) − N (t ) = 0} +
+ Pr {N (t ) = k − 1} ⋅ Pr {N (t + ε ) − N (t ) = 1} = (4)
= Pk (t ) ⋅ (1 − με + o(ε )) + Pk −1 (t ) ⋅ ( με + o(ε ))
откуда следует дифференциальное уравнение для Pk (t ) :
dPk (t )
= − μ ⋅ ( Pk (t ) − Pk −1 (t )), Pk (0) = 0, k ≥ 1 (5)
dt
