Анализ периодических компонент интенсивности точечных процессов. Любушин А.А. - 6 стр.

                                                                  6


                                                                                    b
                                                                               1
                                               Pr{a ≤ η (t ) < b} →                 ∫e
                                                                                         −u2 / 2
                                                                                                   du                         (18)
                                                                      t →∞     2π   a




   Обозначим через τ n непрерывную случайную величину, равную времени ожидания n -го

события для пуассоновского процесса и пусть ϕn (t )                                            − плотность вероятности ее

распределения. Имеем:
                                                                        n −1                  n −1
                                                                                                  e − μt ( μ t ) k
                             Pr{τ n < t} = 1 − Pr{τ n ≥ t} = 1 − ∑ Pk (t ) = 1 − ∑                                            (19)
                                                                       k =0                  k =0        k!
   Отсюда:
                                d Pr{τ n < t}          n −1
                                                            (μ t )k          n −1
                                                                                  ( μ t ) k −1      − μt ( μ t )
                                                                                                                 n −1
                      ϕn (t ) =               = μe ∑
                                                  − μt
                                                                    − μe ∑ k
                                                                        − μt
                                                                                               = μe                           (20)
                                     dt                k =0   k!             k =0    k!                  (n − 1)!


   Заметим, что ϕ n (t ) есть ничто иное, как плотность вероятности для величины χ 22n /(2 μ ) .

Напомним, что χ m2 есть распределение суммы квадратов независимых случайных величин

ui , i = 1,..., m , одинаково распределенных согласно стандартному нормальному закону:
               m
ui ∼ (0,1) ,   ∑u
               i =1
                       2
                       i   ∼χ m2 . Таким образом 2μτ n ∼ χ 22n . Поскольку M {χ m2 } = m, D{χ m2 } = 2m , то

отсюда следует, что


                                                                  n                     n
                                                     M {τ n } =       , D{τ n } =                                             (21)
                                                                  μ                     μ2


   Формулы (21) могут быть выведены также непосредственно из определения
математического ожидания и дисперсии с использованием формулы интегрирования по
частям:


                                                 ∞                             ∞
                                     M {τ n } = ∫ tϕ n (t )dt , D{τ n } = ∫ t 2ϕ n (t )dt − ( M {τ n }) 2                     (22)
                                                 0                              0




   Согласно формуле (20) время ожидание 1-го события распределено с плотностью μ e − μt .
По свому смыслу это время есть длина интервалов между событиями, поскольку каждое
событие не зависит от предыдущих. Поэтому функция μ e − μt                                                     является плотностью