Анализ периодических компонент интенсивности точечных процессов. Любушин А.А. - 19 стр.

                                                        19
смещением 365 дней (1 год). Можно выделить основную особенность гидрологического
режима: наличие периодических компонент в максимальных расходах с периодами от 4 до 8
лет (к этому интервалу принадлежит «библейский гидрологический цикл» Нила, равный 7
годам), причем максимальными эти периодические компоненты были в интервалы времени
1825-1880 и 1905-1970 гг. (с учетом 24-летней длины окна). Определение начала такого
цикла может быть прогностическим признаком для усиления опасности наводнений.


   ЗАДАНИЯ.
1. Сгенерировать искусственную пуассоновскую последовательность моментов времени tk ,

  заданного объема N для процесса с постоянной интенсивностью μ > 0 согласно формуле
  (40). Оценить для нее, используя программу PPPeriod, приращение логарифмической
  функции правдоподобия для всей выборки и в скользящем временном окне для различных
                                                                                                              N
  объемов N и длин временных окон. Учесть, что временная длина выборки T = ∑ Δtk ,
                                                                                                             k =0


  Δtk = tk − tk −1 , t0 = 0 , является случайной величиной, зависящей от случайных реализаций

  величин Δtk длин интервалов между событиями.

2. Сгенерировать искусственную пуассоновскую последовательность моментов времени tk ,

  заданного      объема         N      для      процесса         с     периодической           интенсивностью
  λ (t ) = μ ⋅ (1 + a cos(ωt + ϕ )) . Модель интенсивности содержит 4 параметра: интенсивность
  фона μ > 0 , амплитуду гармонических вариаций интенсивности 0 < a < 1 , период τ , через
  который надо выразить частоту: ω = 2π / τ , и фазу ϕ . Последовательность моментов
  времени tk находится через значения длин интервалов между событиями: tk = tk −1 + Δtk ,

  t0 = 0 . Значения Δtk являются случайными величинами, генерируемыми аналогично
  предыдущему заданию, но с использованием функции распределения:
                                                              ⎛ tk −1 + s    ⎞
          Pr{ Δtk < s } = 1 − Ψ (tk −1 , tk −1 + s) = 1 − exp ⎜ − ∫ λ (u )du ⎟ , tk = tk −1 + Δtk , t0 = 0          (42)
                                                              ⎜ t            ⎟
                                                              ⎝ k −1         ⎠
  Оценить для последовательности tk , используя программу PPPeriod, приращение
  логарифмической функции правдоподобия для всей выборки и в скользящем временном
  окне для различных значений параметров a , τ , объемов N и длин временных окон.
3. Сгенерировать искусственную последовательность моментов времени, состоящую из
  объединения        нескольких         (двух       и        более)    нестационарных            пуассоновских
  последовательностей моментов времени { t (kα ) , k = 1,..., Nα ; α = 1,..., m; m ≥ 2 } . Здесь α -