ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
21
З
АДАНИЯ.
1. Пусть - выборка гауссовского белого шума с дисперсией
4
( ), 1,..., 10==tt N
ξ
2
σ
,
которая может сгенерирована на основе использования центральной предельной теоремы:
, где
12
()
1
() 6
=
⎛⎞
≈⋅ −
⎜⎟
⎝⎠
∑
t
k
k
t
ξση
()t
k
η
- независимые значения датчика псевдослучайных чисел,
равномерно распределенных на интервале . Рассмотреть сигнал случайных
блужданий, полученный путем суммирования значений белого шума:
[0,1]
() ( 1) (), (0) 0
=−+ =xt xt t x
ξ
. Построить график этого сигнала. Эта случайная
последовательность является хорошим приближением к классическому броуновскому
движению. Найти постоянную Херста для ()
x
t 2-мя способами: с помощью оценки
спектра мощности и использования соотношения и оценки
среднего значения квадратов вейвлет-коэффициентов при ортогональном разложении по
финитным базисным функциям и использования соотношения , где
(2 1)
() , 0
−+
→∼
H
xx
S
ωω ω
21
()
+
∼
H
Ws
αα
s
α
-
характерный временной масштаб уровня детальности
α
. Для оценок можно использовать
интерактивный пакет Spectra_Analyzer.
2. Сгенерировать выборку самоподобного сигнала от дискретного времени ()
x
t ,
и постоянной Херста
14
1,..., 2 16384===tN
,0 1
<
<HH
, используя дискретное
преобразование Фурье. Для этого выполнить следующую последовательность операций:
2.1. Создать выборку гауссовского белого шума
( ), 1,...,
=
tt N
ξ
с дисперсией
2
σ
.
2.2. Вычислить прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) от ()
t
ξ
:
1
2
( ) ( ) exp( ( 1)), ( 1), 1,...,
=
=⋅−− =−=
∑
N
kk
t
dk t i t k k N
N
ξ
π
ξωω
(55)
2.3. Вычислить новые коэффициенты Фурье с учетом цикличности ДПФ:
()
0.5
*
( ) ( ) , ( 2) ( ), 2,..., / 2
−−
=⋅ −+= =
H
k
dk dk dNk dk k N
ξξ ξ ξ
ω
(56)
В формуле (56) “*” означает комплексное сопряжение. Заметим, что коэффициенты Фурье
и , соответствующие нулевой частоте и частоте Найквиста, не
преображаются и для них значения новых коэффициентов Фурье (56) равны их прежним
значениям.
(1)d
ξ
(/21)+dN
ξ
2.4. Вычислить обратное преобразование Фурье от новых коэффициентов:
1
12
( ) ( ) exp( ( 1)), ( 1), 1,...,
=
=⋅−=−=
∑
N
kk
k
zt d k i t k t N
NN
ξ
π
ωω
(57)
2.5. Положить () Re( ())
=
x
tzt.
21
ЗАДАНИЯ.
1. Пусть ξ (t ), t = 1,..., N = 104 - выборка гауссовского белого шума с дисперсией σ 2 ,
которая может сгенерирована на основе использования центральной предельной теоремы:
⎛ 12
⎞
ξ (t ) ≈ σ ⋅ ⎜ ∑η (kt ) − 6 ⎟ , где η (kt ) - независимые значения датчика псевдослучайных чисел,
⎝ k =1 ⎠
равномерно распределенных на интервале [0,1] . Рассмотреть сигнал случайных
блужданий, полученный путем суммирования значений белого шума:
x(t ) = x(t − 1) + ξ (t ), x(0) = 0 . Построить график этого сигнала. Эта случайная
последовательность является хорошим приближением к классическому броуновскому
движению. Найти постоянную Херста для x(t ) 2-мя способами: с помощью оценки
спектра мощности и использования соотношения S xx (ω ) ∼ ω − (2 H +1) , ω → 0 и оценки
среднего значения квадратов вейвлет-коэффициентов при ортогональном разложении по
финитным базисным функциям и использования соотношения Wα ∼ ( sα ) 2 H +1 , где sα -
характерный временной масштаб уровня детальности α . Для оценок можно использовать
интерактивный пакет Spectra_Analyzer.
2. Сгенерировать выборку самоподобного сигнала от дискретного времени x(t ) ,
t = 1,..., N = 214 = 16384 и постоянной Херста H, 0 < H <1, используя дискретное
преобразование Фурье. Для этого выполнить следующую последовательность операций:
2.1. Создать выборку гауссовского белого шума ξ (t ), t = 1,..., N с дисперсией σ 2 .
2.2. Вычислить прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) от ξ (t ) :
N
2π
dξ (k ) = ∑ ξ (t ) ⋅ exp(−iωk (t − 1)), ωk = (k − 1), k = 1,..., N (55)
t =1 N
2.3. Вычислить новые коэффициенты Фурье с учетом цикличности ДПФ:
dξ ( k ) = dξ ( k ) ⋅ ( ωk )
− H − 0.5
, dξ ( N − k + 2) = dξ* (k ), k = 2,..., N / 2 (56)
В формуле (56) “*” означает комплексное сопряжение. Заметим, что коэффициенты Фурье
dξ (1) и dξ ( N / 2 + 1) , соответствующие нулевой частоте и частоте Найквиста, не
преображаются и для них значения новых коэффициентов Фурье (56) равны их прежним
значениям.
2.4. Вычислить обратное преобразование Фурье от новых коэффициентов:
1 N
2π
z (t ) =
N
∑ dξ (k ) ⋅ exp(iω (t − 1)),
k =1
k ωk =
N
(k − 1), t = 1,..., N (57)
2.5. Положить x(t ) = Re( z (t )) .
