Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 22 стр.

                                                          22
  Операции прямого и обратного ДПФ (55) и (56) вычислить, используя быстрое
  преобразование Фурье. Для полученного сигнала x(t ) построить графики для различных
 значений параметра H , 0 < H < 1 и оценить его, используя оценки спектра мощности и
 ортогональные вейвлет-разложения, аналогично п.1.
3. Сгенерировать выборку самоподобного сигнала от дискретного времени                                                     x(t ) ,

  t = 1,..., N = 2m + 1 , где m = 14 и с постоянной Херста H , 0 < H < 1 , используя метод
  последовательных сложений Фосса [2]. Для этого инициализировать массив                                                  x(t )
  нулевыми значениями, а затем совершить последовательно m + 1 итераций. Пусть
                                                                                                            2 H ( k −1)
                                                                                 ⎛1⎞
  k = 1,..., m + 1 - номер итерации. На каждом k -ом шаге положить σ k2 = σ 02 ⋅ ⎜ ⎟                                      , где
                                                                                 ⎝2⎠
  σ 02 - параметр метода, можно положить σ 02 = 1 . Положить nk = 2m− k +1 , τ (j k ) = 1 + nk ⋅ ( j − 1) ,

  j = 1,..., 2k −1 + 1 и в точках τ (j k ) сигналу x(t ) присвоить независимые случайные гауссовские

  значения с нулевым средним и дисперсией σ k2 : x(τ (j k ) ) = ξ (j k ) , ξ (j k ) ∼ (0, σ k2 ) . Далее эти

  значения линейно интерполировать в точки (τ (j k−1) + τ (j k ) ) / 2 , находящиеся посредине:

  x((τ (j k−1) + τ (j k ) ) / 2) = ( x(τ (j k−1) ) + x(τ (j k ) )) / 2 . На этом k -ый шаг завершен и итерация повторяется

  для k + 1 . Для полученного сигнала x(t ) построить графики для различных значений
 параметра        H, 0 < H <1       и оценить его, используя оценки спектра мощности и
  ортогональные вейвлет-разложения, аналогично п.1.
4. Используя формулу (21) написать программу и сгенерировать с ее помощью дискретную
  выборку объема N = 105             мультипликативного биномиального процесса для различных
  вероятностей 0 < p < 0.5 . Построить их графики для всей выборки и для ее отдельных
  частей: половины, одной четверти, одной восьмой и т.д. и убедиться в инвариантности
 этих графиков от масштаба.
5. Оценить мультфрактальные спектры сингулярности для сигналов из пп.1-4 методом DFA,
 используя интерактивную программу Spectra_Analyzer.
6. Запрограммировать метод вычисления постоянной Херста в скользящем временном окне
 на основе использования формул (41)-(43) и применить его к анализу сигналов из пп.1-4.
 Учесть, что перед использованием метода (41)-(43) необходимо перейти к временным
 рядам в приращениях.