ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
0
0,
(,) ()
,
d
dD
Vdn
dD
δ
δδδ
→
>
⎧
=⋅→
⎨
∞
<
⎩
(1)
В этом случае число называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича множества
D
Ω
.
Если - дробное число, меньшее , то множество
D
m
Ω
называется фракталом, а -
фрактальной размерностью. Отсюда следует, что , то есть
D
() , 0
D
n
δδ δ
−
→∼
0
ln( ( ))
lim
ln( )
n
D
δ
δ
δ
→
=− (2)
2.
Мультифрактальный спектр показателей сингулярности Гельдера-Липшица. Пусть
x
- вектор в евклидовом пространстве
m
R
. Пусть
m
R
Ω
⊂ - некоторое ограниченное
множество, на котором определена мера
()
M
B для любого множества
m
B
R⊆Ω⊂
.
Определим показатель Гельдера-Липшица
()
x
α
для меры ()
M
x из соотношения:
()
|( ) ()|||
x
Mx dx Mx dx
α
+− ∼ или
ln | ( ) ( ) | ln | ( , ) |
()
ln | | ln | |
M
xdx Mx dMxdx
x
dx dx
α
+
−
==
(3)
Пусть
0
δ
> . Покроем множество
Ω
непересекающимися -мерными кубами со
сторонами длиной
m
δ
и пусть ()n
δ
- общее число таких кубов. Пронумеруем кубы этого
покрытия индексом
, 1,..., ( )
ii n
δ
=
и пусть ()
ii
μ
μδ
=
- мера i-го куба. На практике плотность
()
M
x неизвестна и, соответственно, неизвестны и значения
i
μ
. Однако
i
μ
могут быть
оценены в случае, если задана достаточно большая выборка точек (результаты наблюдений
или эксперимента), распределенных внутри множества
Ω
в соответствии с плотностью
()
M
x . Пусть - общее число точек в выборке, а ()N
i
N
δ
- число точек выборки, попавших в
i-ый куб. Тогда можно оценить
ii
NN
μ
≈ . Составим сумму:
()
1
(, )
n
q
i
i
Nq
δ
δ
μ
=
=
∑
(4)
3
⎧0, d > D
V (δ , d ) = n(δ ) ⋅ δ d → ⎨ (1)
δ → 0 ∞, d 0 . Покроем множество Ω непересекающимися m -мерными кубами со
сторонами длиной δ и пусть n(δ ) - общее число таких кубов. Пронумеруем кубы этого
покрытия индексом i, i = 1,..., n(δ ) и пусть μi = μi (δ ) - мера i-го куба. На практике плотность
M ( x) неизвестна и, соответственно, неизвестны и значения μi . Однако μi могут быть
оценены в случае, если задана достаточно большая выборка точек (результаты наблюдений
или эксперимента), распределенных внутри множества Ω в соответствии с плотностью
M ( x) . Пусть N - общее число точек в выборке, а N i (δ ) - число точек выборки, попавших в
i-ый куб. Тогда можно оценить μi ≈ N i N . Составим сумму:
n (δ )
N (q, δ ) = ∑ μiq (4)
i =1
