Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 5 стр.

                                                                         5


                                          dτ (q )            ln( μmax (δ ))
                                                    = − lim                 = −α min                                                                    (9)
                                           dq q →+∞     δ →0    ln | δ |


    Пусть Lα - множество точек, имеющих показатель Гельдера-Липшица α и пусть F (α ) -

фрактальная размерность множества Lα . Поскольку полное множество точек – носителей
                                               α =α max
меры можно представить как                       ∪
                                               α =α min
                                                          Lα , то F (α ) ≤ D . Обозначим через ρ (α ) плотность

множеств Lα , то есть ρ (α )dα равно числу множеств Lα точек, имеющих показатель

Гельдера-Липшица в интервале от α до α + dα . По определению фрактальной размерности
число ячеек n(δ , α , dα ) , необходимых для покрытия объединения множеств                                                                         Lα    с

показателем в интервале от α до α + dα , равно


                                                 n(δ , α , dα ) = ρ (α )dα ⋅ | δ | − F (α )                                                         (10)


                                                                                                                                          n (δ )
Мера этих ячеек равна μα =| δ |α . Следовательно, аналогом суммы N (q, δ ) = ∑ μiq для
                                                                                                                                           i =1


объединения всех множеств Lα с показателем в интервале от α min до α max будет интеграл:


                        α max                          α max                                                               α max
                                                                                                      max ( qα − F (α ))
         N ( q, δ ) =
                        α
                          ∫     n(δ , α , dα ) μαq =
                                                       α
                                                         ∫      ρ (α )dα ⋅ | δ | qα − F (α ) ≤| δ |    α


                                                                                                                           α
                                                                                                                             ∫     ρ (α )dα         (11)
                         min                              min                                                               min




Согласно определению функции τ (q) N (q, δ ) ∼ | δ | −τ ( q ) при δ → 0 . Отсюда следует, что


          −τ (q) = max(qα − F (α )) ⇒ τ (q) = min( F (α ) − qα ), α min ≤ α ≤ α max                                                                 (12)
                         α                                                 α




Величина τ (q) , в отличие от F (α ) , может быть вычислена (оценена по данным). Если F (α )
- непрерывно дифференцируемая функция, то из условия τ (q) = min( F (α ) − qα ) следует, что
                                                                                                           α




                                        dF (α )                                     dF (α )
                                   q=           , τ (q) = F (α ) − α q = F (α ) − α                                                                 (13)
                                         dα                                          dα