Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 7 стр.

                                                                 7
    Пусть n = 1, 2,... - номер итерации. Тогда на каждой итерации отрезок [0,1] делится на

N = 2n малых отрезков длиной δ n = 2− n . Пусть


                                                    xi( n ) = i ⋅ 2− n , i = 0,1,..., N − 1                    (18)


- точки начал этих малых отрезков I i( n ) = {x : xi( n ) ≤ x < xi( n ) + δ n } .

    Каждому отрезку I i( n ) припишем меру μi( n ) = p ki (1 − p ) n − ki , где 0 < p < 1 , а ki - число нулей

в разложении xi( n ) в 2-чную дробь длиной n знаков. Таким образом, можно определить
линейную плотность
                                                  ρ n ( x) = μi( n ) / δ n , x ∈ I i( n )                      (19)


и меру полуинтервала [0, x) :
                                                                           x
                                                        M n ( x) = ∫ ρ n (u )du                                (20)
                                                                           0


    Число точек xi( n ) = i ⋅ 2− n , имеющих в своем разложении в n -мерную 2-чную дробь

                                                                                                   n!
одинаковое число нулей, равное k , равно биномиальному коэффициенту                                        . Этой же
                                                                                              k !(n − k )!

величине равно общее число интервалов I i( n ) , имеющих одинаковую меру p k (1 − p ) n − k .

Суммируя меры всех интервалов, получим 1 – полную меру отрезка [0,1] . Поэтому
M n (1) = 1 . Функция M n ( x) удовлетворяет соотношению:


                                            ⎧ p ⋅ M n (2 x),                0 ≤ x < 1/ 2
                                 M n ( x) = ⎨                                                                  (21)
                                            ⎩ p + (1 − p ) ⋅ M n (2 x − 1), 1/ 2 ≤ x ≤ 1


При n → ∞ в пределе получим функцию M ( x) = lim M n ( x) , которая обладает свойствами
                                                                               n →∞


мультифрактальности.
    Обозначим через ξ k( n ) = k / n, k = 0,1,..., n долю нулей в разложении в n -мерную 2-чную

дробь чисел xi( n ) = i ⋅ 2− n . Тогда существует


                                                                         n!
                                             N n (ξ k( n ) ) =                                                 (22)
                                                                 (ξ n)!((1 − ξ k( n ) )n) !
                                                                     (n)
                                                                     k