Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8
интервалов
()n
i
I
имеющих одну и ту же меру
() ()
(1 )
() () (1 )
( ) (1 ) ( ( )) , ( ) (1 )
nn
kk
nn
nnn
nk k
pp pp
ξξ
ξ
ξ
μξ ξ ξ
−
−
=− =Δ Δ=− (23)
Обозначим через множество всех таких интервалов.
()
(
n
nk
L
ξ
)
Используя формулу Стирлинга
(ln( ) 1)
!2 2
nn nn
nnne ne
ππ
−
⋅−
≈⋅⋅=⋅ , получим:
() () () () ()
() ()
1
( ) exp( ( ln( ) (1 )ln(1 )))
2(1)
nnn
nk k k k k
nn
kk
Nn
n
ξξξξ
πξ ξ
≈⋅−+−
−
nn
ξ
−
(24)
Подставляя под знаком экспоненты ln( ) / ln(2)
n
n
δ
=
− и обозначая
ln( ) (1 )ln(1 )
()
ln(2)
f
ξ
ξξξ
ξ
+
−−
=−
(25)
получим
()
()
()
() ()
1
() ()
2(1)
n
k
f
n
nk n
nn
kk
N
n
ξ
ξ
πξ ξ
−
≈⋅
−
δ
(26)
Устремим и обозначим через
n →∞
1
() ()
n
n
LL
ξ
ξ
∞
=
=
∪
- объединение всех множеств вида
, для которых доля нулей в разложении во все более длинную 2-чную дробь равна
одному и тому же числу
()
(
n
nk
L
ξ
)
. Поскольку , то отсюда следует, что
фрактальная размерность множества ()
()
() ( ) , 0
f
nn n
N
ξ
ξδ δ
−
→∼
L
ξ
равна ()
f
ξ
. Заметим что .
() [0,1]L
ξ
ξ
=
∪
Далее, . Представим это приращение меры на
интервале длиной
() () ()
()()((
nn
ni n ni k
Mx Mx
δ
+− =Δ ))
nn
ξ
n
δ
через показатель Гельдера-Липшица, то есть в виде ()
n
α
δ
. Отсюда:
() () ()
()
ln(( ( )) ) ln( ) (1 )ln(1 )
()
ln( ) ln(2)
nn n n
n
kk k
k
n
p
p
ξξ ξ
αξ
δ
Δ+−
==−
−
(27)
Это же соотношение останется в силе и при . Следовательно, если ввести функцию
n →∞
                                                                                8


интервалов I i( n ) имеющих одну и ту же меру



                          μn (ξ k( n ) ) = p nξ (1 − p) n (1−ξ                 = (Δ (ξ k( n ) )) n , Δ (ξ ) = pξ (1 − p)(1−ξ )
                                                   (n)                   (n)
                                                                         k )
                                                   k
                                                                                                                                                     (23)


Обозначим через Ln (ξ k( n ) ) множество всех таких интервалов.

Используя формулу Стирлинга n ! ≈ 2π n ⋅ n n ⋅ e − n = 2π n ⋅ e n⋅(ln( n ) −1) , получим:


                                               1
             N n (ξ k( n ) ) ≈                                     ⋅ exp(− n(ξ k( n ) ln(ξ k( n ) ) + (1 − ξ k( n ) ) ln(1 − ξ k( n ) )))            (24)
                                 2π nξ    (n)
                                          k     (1 − ξ   (n)
                                                         k     )


Подставляя под знаком экспоненты n = − ln(δ n ) / ln(2) и обозначая


                                                                         ξ ln(ξ ) + (1 − ξ ) ln(1 − ξ )
                                                         f (ξ ) = −                                                                                  (25)
                                                                                         ln(2)
получим
                                                                                    1
                                                N n (ξ k( n ) ) ≈                                      ⋅ (δ n ) − f (ξk
                                                                                                                      (n)
                                                                                                                            )
                                                                                                                                                     (26)
                                                                        2π nξ k( n ) (1 − ξ k( n ) )


                                                                                    ∞
Устремим n → ∞ и обозначим через L(ξ ) = ∪ Ln (ξ ) - объединение всех множеств вида
                                                                                 n =1


Ln (ξ k( n ) ) , для которых доля нулей в разложении во все более длинную 2-чную дробь равна

одному и тому же числу ξ . Поскольку N n (ξ ) ∼ (δ n ) − f (ξ ) , δ n → 0 , то отсюда следует, что

фрактальная размерность множества L(ξ ) равна f (ξ ) . Заметим что                                                              ∪ξ L(ξ ) = [0,1] .
    Далее,     M n ( xi( n ) + δ n ) − M n ( xi( n ) ) = (Δ(ξ k( n ) )) n . Представим это приращение меры на

интервале длиной δ n через показатель Гельдера-Липшица, то есть в виде (δ n )α . Отсюда:


                                               ln((Δ (ξ k( n ) ))n )   ξ ( n ) ln( p ) + (1 − ξ k( n ) ) ln(1 − p)
                             α (ξ k( n ) ) =                         =− k                                                                            (27)
                                                   ln(δ n )                              ln(2)


Это же соотношение останется в силе и при n → ∞ . Следовательно, если ввести функцию

Страницы