Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10
где символ означает равенство функций распределений случайных величин по обе
стороны от этого символа.
d
=
Процесс ()
Z
t имеет стационарные приращения, если ф.р. случайной величины
() ( ) ()
t
Z
hZthZtΔ=+− совпадает с ф.р. величины
() (0)Zh Z
−
: .
Если процесс ()
( ) ( ) ( ) (0)
d
ZthZtZhZ+− = −
Z
t H-самоподобен и имеет стационарные приращения, то будем про него
говорить, что он принадлежит классу Hsssi (self-similar with scaling exponent H and stationary
increments). Если
()
Z
t Hsssi∈
, то последовательность
(1) (
j
)
X
Zj Zj
=
+−
образует
стационарный временной ряд. Далее будем предполагать, что
()
Z
t имеет ограниченную
дисперсию: .
2
()MZ t <∞
Если ()
Z
t Hsssi∈ и , то процесс ()
2
()MZ t <∞
Z
t обладает следующими свойствами.
a) Если , то
Действительно: 1H ≠ () 0.MZ t = (2 ) 2 ( )
H
M
Zt MZt= в силу H-самоподобия. С
другой стороны, в силу стационарности приращений
(2 ) ( (2 ) ( ) ( )) ( (2 ) ( )) ( ) 2 ( )
Zt MZt Zt Zt MZt Zt MZt MZt=−+=−+= (33)
то есть . 2 () 2 () () 0
H
MZt MZt t MZt=∀⇒=
b) Поскольку (0) ( 0) (0) (0) 0
d
H
ZZaaZ a Z== ∀⇒ =
c) Из предыдущего свойства b) и из стационарности приращений вытекает:
() () (0) ( ) (0 ) (0) () ()
d
Z
tZtZ ZttZ tZ Zt Zt−= −− = −+− + = − =− (34)
d) Из свойства c) и из
H-самоподобия следует:
2 2 22 22 2
( ) (| | ( )) | | ( ( )) | | (1) | |
HH
MZ t MZ t sign t t MZ sign t t MZ t
2H
σ
=⋅= = = (35)
где . Если , то процесс
22
(1)MZ
σ
=
2
1
σ
= ()
Z
t Hsssi
∈
называется стандартным.
e) Из свойства d) следует формула для ковариационной функции процесса
()
Z
t Hsssi∈ :
2
22 2 22 2
(,)(()())(()()(()()))/2 (||||||
2
)
H
HH
H
st M Z sZt M Z s Z t Z s Zt s t s t
σ
Γ= = +−− = +−− (36) 
                                                                   10
                   d
где символ = означает равенство функций распределений случайных величин по обе
стороны от этого символа.
    Процесс Z (t ) имеет стационарные приращения, если ф.р. случайной величины
                                                                                                                         d
Δ t Z (h) = Z (t + h) − Z (t ) совпадает с ф.р. величины Z (h) − Z (0) : Z (t + h) − Z (t ) = Z (h) − Z (0) .

Если процесс Z (t ) H-самоподобен и имеет стационарные приращения, то будем про него
говорить, что он принадлежит классу Hsssi (self-similar with scaling exponent H and stationary
increments).       Если        Z (t ) ∈ Hsssi ,       то    последовательность                 X j = Z ( j + 1) − Z ( j )       образует

стационарный временной ряд. Далее будем предполагать, что Z (t ) имеет ограниченную

дисперсию: MZ 2 (t ) < ∞ .

    Если Z (t ) ∈ Hsssi и MZ 2 (t ) < ∞ , то процесс Z (t ) обладает следующими свойствами.

a) Если H ≠ 1 , то MZ (t ) = 0. Действительно: MZ (2t ) = 2 H MZ (t ) в силу H-самоподобия. С
другой стороны, в силу стационарности приращений


                   MZ (2t ) = M ( Z (2t ) − Z (t ) + Z (t )) = M ( Z (2t ) − Z (t )) + MZ (t ) = 2 MZ (t )                             (33)


то есть 2MZ (t ) = 2 H MZ (t ) ∀t ⇒ MZ (t ) = 0 .
                                       d
b) Поскольку Z (0) = Z (a0) = a H Z (0) ∀a ⇒ Z (0) = 0
c) Из предыдущего свойства b) и из стационарности приращений вытекает:


                                                  d
                    Z (−t ) = Z (−t ) − Z (0) = Z (−t + t ) − Z (0 + t ) = Z (0) − Z (t ) = − Z (t )                                   (34)


d) Из свойства c) и из H-самоподобия следует:


                 MZ 2 (t ) = MZ 2 (| t | ⋅sign(t )) =| t |2 H MZ 2 ( sign(t )) =| t |2 H MZ 2 (1) =| t |2 H σ 2                        (35)


где σ 2 = MZ 2 (1) . Если σ 2 = 1 , то процесс Z (t ) ∈ Hsssi называется стандартным.
e) Из свойства d) следует формула для ковариационной функции процесса Z (t ) ∈ Hsssi :


                                                                                              σ2
 Γ H ( s, t ) = M ( Z ( s) Z (t )) = M ( Z 2 ( s) + Z 2 (t ) − ( Z ( s) − Z (t )) 2 ) / 2 =        (| s |2 H + | t |2 H − | s − t |2 H ) (36)
                                                                                              2

Страницы