Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 12 стр.

                                                                            12
(iv) Пусть k ≠ 0 .
                                    H = 0.5               ⇒ γ XX (k ) = 0;
Тогда:                              0 < H < 0.5 ⇒ γ XX (k ) < 0;
                                    0.5 < H < 1 ⇒ γ XX (k ) > 0


(v) Пусть H ≠ 0.5 . Тогда γ XX (k ) ∼ σ 2 H (2 H − 1)⋅ | k |2 H − 2 , | k |→ ∞
                                      +∞
                                1
(vi) Пусть S XX (ω ) =
                               2π
                                     ∑γ
                                     k =−∞
                                             XX   (k )e − ikω - спектральная плотность стационарной случайной

                                                     +π
последовательности X k ; γ XX (k ) =
                                                     −
                                                      ∫π S   XX   (ω )eikω dω . Тогда S XX (ω ) ∼ ω − (2 H −1) , ω → 0 , т.е. если

 0.5 < H < 1 ⇒ S XX (ω ) → ∞, ω → 0                           и           сигнал           Xk      носит       низкочастотный                характер.
Соответственно, спектральная оценка конечной выборки из фрактального броуновского
движения будет иметь поведение:
S BH BH (ω ) ∼ ω − (2 H +1) , ω → 0

    5. Оценка постоянной Херста по экспериментальным данным. Наиболее очевидная
оценка непосредственно из определения показателя, данного самим автором. Пусть
x(t ), t = 1,..., N – анализируемый временной ряд; L < N – длина скользящего временного
окна; τ - номер отсчета правого конца скользящего окна, то есть мы рассматриваем
моменты времени t , которые удовлетворяют условию τ − L + 1 ≤ t ≤ τ . Пусть s - длина
внутреннего временного окна, которое используется внутри текущего основного окна для
операций усреднения. Мы рассматриваем длины внутренних окон, удовлетворяющие
условию: s ≤ L / 5 . Пусть


                                                                               1 s
                                                                  xs(,τu) =      ∑ x(u + t − 1)
                                                                               s t =1
                                                                                                                                                  (41)



− выборочная оценка среднего значения на интервале длиной s отсчетов, который лежит
внутри текущего основного окна и начинается в точке u . Следующий шаг состоит в
вычислении отклонений от среднего значения (41), их накопленной суммы и размаха
накопленной суммы:


                                                                    t
           Δ xs(τ, u) (t ) = x(t ) − xs(,τu) , ξ s(,τu) (t ) =    ∑Δ x τ
                                                                   v =1
                                                                              ( )
                                                                              s, u   (v), Rs(τ, u) = max ξ s(,τu) (t ) − min ξ s(,τu) (t )
                                                                                                          t                  t
                                                                                                                                                  (42)