Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 13 стр.

                                                                    13
для t ∈ [u , u + s − 1], u ∈ [τ − L + 1,τ − s + 1] . Далее оцениваются дисперсия и среднее значение
отношения размаха к стандартному отклонению:


                                       1 s                                             1          τ − s +1     Rs(τ, u)
                    (σ s(τ, u) ) 2 =     ∑
                                       s t =1
                                              (Δxs(τ, u) (t )) 2 , RS (τ ) ( s) =
                                                                                  ( L − s + 1)
                                                                                                   ∑
                                                                                                 u =τ − L +1   σ s(τ, u)
                                                                                                                           (43)



    Показатель Херста H (τ ) в текущем временном окне оценивается как наклон кривой

прямой линейной регрессии между значениями ln( RS (τ ) ( s )) и ln( s ) . Оценка может получена
как в скользящем временном окне, так и по всей выборке. Заметим, что если ставится задача
оценки постоянной Херста для процесса Z (t ) ∈ Hsssi , то все вышеизложенные операции
следует производить после перехода к его приращениям, то есть для x(t ) = Z (t + 1) − Z (t ) .
    Другие оценки могут быть основаны на свойстве роста спектра мощности по степенному
закону: S ZZ (ω ) ∼ ω − (2 H +1) , ω → 0 при уменьшении частоты. Если использовать не обычные
спектральные оценки, а разложения по системе ортогональных нормированных компактных
базисных функций – вейвлетам [1], то для процесса Z (t ) ∈ Hsssi оценку постоянной Херста
можно найти по скорости роста средних значений квадратов модулей вейвлет-
коэффициентов:
                                                           N (α )
                                                  Wα =     ∑|c α
                                                            j =1
                                                                    ( ) 2
                                                                    j    | / N (α )                                        (44)



    Здесь c (jα ) - коэффициенты ортогонального дискретного вейвлет-разложения выборки

самоподобного временного ряда, α = 1,..., m - номер уровня детальности разложения, N (α ) -

число вейвлет-коэффициентов на уровне детальности α , N (α ) ≤ 2( m −α ) . Тогда, аналогично
соотношению для скорости роста спектра мощности, Wα ∼ ( sα ) 2 H +1 , где sα - характерный

временной масштаб уровня детальности α . Поскольку sα = 2α ÷ 2(α +1) , то отсюда следует, что


                                                         log 2 (Wα ) ∼ α 2 H +1                                            (45)


    Таким образом, значение коэффициента наклона прямой, подогнанной методом
наименьших квадратов к парам значений (log 2 (Wα ), α ) , дает оценку для величины 2 H + 1 .
    6. Оценка спектра сингулярности по экспериментальным данным. В настоящее время
существуют 2 подхода для оценки спектров сингулярности временного ряда. Первый метод