Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 15 стр.

                                                                 15
сигнала: если q > 0 , то в значение меры (46) основной вклад вносят интервалы времени с
большими отклонениями от тренда, а если q < 0 , то интервалы времени с малыми
вариациями.
    Для вычисления функции ρ (q ) по конечной выборке из временного ряда x(t ), t = 1,..., N
можно применить метод DFA. Пусть s - число отсчетов, ассоциированное с варьируемым
масштабом δ s : δ s = sΔt . Разобьем выборку на непересекающиеся малые интервалы длиной

s отсчетов:


                                    I k( s ) = {t :1 + (k − 1) s ≤ t ≤ ks, k = 1,...,[ N / s]}                                   (49)
и пусть
                                       yk( s ) (t ) = x((k − 1) s + t ), t = 1,..., s                                            (50)


участок временного ряда x(t ) , соответствующий интервалу I k( s ) . Пусть p (ks , m ) (t ) - полином

порядка m , подогнанный методом наименьших квадратов к сигналу yk( s ) (t ) . Рассмотрим
отклонения от локального тренда:


                                        Δy (ks , m ) (t ) = yk( s ) (t ) − p (ks , m ) (t ), t = 1,..., s                        (51)

и вычислим значение:


                                                                                                                     1/ q
                                           ⎛ [ N / s]                                                                ⎞
                       Z   (m)
                                 (q, s ) = ⎜ ∑ (max Δy (ks ,m ) (t ) − min Δy (ks ,m ) (t )) q              [ N / s] ⎟           (52)
                                           ⎝ k =1 1≤t ≤ s              1≤ t ≤ s
                                                                                                                     ⎠


которое будем рассматривать как оценку для ( M (δ s , q))1/ q . Процедура устранения тренда на

каждом малом участке длиной s отсчетов необходима в случае наличия в сигнале трендов
внешнего происхождения. Определим теперь функцию h(q ) как коэффициент линейной

регрессии между значениями ln( Z ( m ) (q, s ))                        и ln( s ) :         Z ( m ) (q, s ) ∼ s h ( q ) . Очевидно, что
ρ (q) = qh(q ) , а для монофрактального процесса h(q ) = H = const .
    Следующим шагом в мультифрактальном анализе после определения функции ρ (q )
является вычисление спектра сингулярности F (α ) , который является с фрактальной
размерности множества точек, в окрестности которых показатель Гельдера-Липшица для
случайных реализаций процесса x(t ) равен α , то есть таких точек t , для которых